Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: cho a>0,b>0 và a+b=1.chứng minh:1/(a²+b²)+1/2ab>=4 Giúp mình vs ạ

Tháng Một 7, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: cho a>0,b>0 và a+b=1.chứng minh:1/(a²+b²)+1/2ab>=4
Giúp mình vs ạ

Comments ( 2 )

  1. danvanthu
    danvanthu
    7 Tháng Một, 2023 at 6:05 sáng
    Reply
    Giải đáp:
     min_{1/(a^2+b^2)+1/(2ab)}=4<=>a=b=1/2.
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Cần chứng minh bất đẳng thức:
    1/x+1/y>=4/(x+y)(x,y>0)
    <=>(x+y)/(xy)>=4/(x+y)
    <=>(x+y)^2>=4xy
    <=>x^2+2xy+y^2>=4xy
    <=>x^2-2xy+y^2>=0
    <=>(x-y)^2>=0 luôn đúng.
    Dấu “=” xảy ra khi x=y>0.
    Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
    1/(a^2+b^2)+1/(2ab)>=4/(a^2+2ab+b^2)=4/(a+b)^2=4
    Dấu “=” xảy ra khi a^2+b^2=2ab<=>a^2-2ab+b^2=0
    <=>(a-b)^2=0<=>a=b=1/2
    Vậy min_{1/(a^2+b^2)+1/(2ab)}=4<=>a=b=1/2.

  2. ngoclanhoa
    ngoclanhoa
    7 Tháng Một, 2023 at 6:05 sáng
    Reply
    Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     Do a,b>0
    Áp dụng  BĐT Cauchy – Schwarz dạng Engel
    =>1/(a^2+b^2) +1/(2ab)>=(1+1)^2/(a^2+b^2+2ab)=4/(a+b)^2=4/1=4
    =>1/(a^2+b^2) +1/(2ab)>=4
    Dấu = xảy ra <=>1/(a^2+b^2)=1/(2ab)
    =>a=b
    a+b=1
    =>a=b=1/2
    Vậy 1/(a^2+b^2) +1/(2ab)>=4 ,dấu = xảy ra <=>a=b=1/2

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Ðan Khanh

About Ðan Khanh