Toán Lớp 8: Cho a,b,c là các số dương, hãy chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9/ a+b+c

Question

Toán Lớp 8:  Cho a,b,c là các số dương, hãy chứng minh rằng 1/a + 1/b + 1/c lớn hơn hoặc bằng 9/ a+b+c

diemchau · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)(a,b,c>0) <=>(ab+bc+ca)/(abc)>=9/(a+b+c) <=>(ab+bc+ca)(a+b+c)>=9abc <=>a^2b+ab^2+abc+abc+b^2c+bc^2+ca^2+abc+c^2a>=9abc <=>a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2>=6abc Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có: a^2b+bc^2>=2abc ab^2+c^2a>=2abc b^2c+ca^2>=2abc Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2>=6abc =>1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)(a,b,c>0)

hoquyly · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/(a+b+c) <=> (1/a + 1/b + 1/c )(a+b+c) ≥ 9 Ta có: {(1/a + 1/b + 1/c ≥ 3. root{3}{1/{abc}}),(a+b+c ≥ 3 root{3}{abc} ):} (1/a + 1/b + 1/c)(a+b+c) ≥ 9. root{3}{{abc}/{abc}} = 9 <=> 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9(a+b+c) (đpcm)