Toán Lớp 9: cho a+b+c ≤ 1 CMR:s=(a^2/b)+(b^2/c)+(c^2/a)+(1/a)+(1/b)+(1/c) ≥28

Question

Toán Lớp 9:  cho a+b+c ≤ 1  CMR:s=(a^2/b)+(b^2/c)+(c^2/a)+(1/a)+(1/b)+(1/c) ≥28

cobexinhdep · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: Sửa đề Cho a,b,c>0;a+b+c<=1 Chứng minh S=a^2/b+b^2/c+c^2/a+1/a+1/b+1/c>=10 _________________________________________________________________ Giải: S=a^2/b+b^2/c+c^2/a+1/a+1/b+1/c =>S=(a^2/b+b)+(b^2/c+c)+(c^2/a+a)+1/a+1/b+1/c-(a+b+c) =>S=2 sqrt{a^2/b.b}+2 sqrt{b^2/c.c}+2 sqrt{c^2/a.a}+1/a+1/b+1/c-(a+b+c) =>S>=2a+2b+2c+1/a+1/b+1/c-(a+b+c) =>S>=a+b+c+1/a+1/b+1/c =>S>=a+b+c+9/(a+b+c) BĐT Cauchy–Schwarz =>S>=a+b+c+1/(a+b+c)+8/(a+b+c) =>S>=2 sqrt{(a+b+c) . 1/(a+b+c)}+8/(a+b+c) =>S>=2+8 =>S>=10 Dấu = xảy ra <=>a=b=c=1/3

buithaianh98 · Answer

Giải đáp: Sửa đề a,b,c>0 và chứng minh:S>=2+8. Lời giải và giải thích chi tiết: S=a^2/b+b^2/c+c^2/a+1/a+1/b+1/c Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski dạng phân thức(cosi-schwart) ta có: a^2/b+b^2/c+c^2/a>=(a+b+c)^2/(b+c+a) <=>a^2/b+b^2/c+c^2/a>=a+b+c <=>S>=a+b+c+1/a+1/b+1/c <=>S>=a+1/(9a)+b+1/(9b)+c+1/(9c)+8/9(1/a+1/b+1/c) Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta có: ( begin{cases}a+ dfrac{1}{9a} ge2 sqrt{a. dfrac{1}{9a}}= dfrac{2}{3} b+ dfrac{1}{9b} ge2 sqrt{b. dfrac{1}{9b}}= dfrac{2}{3} c+ dfrac{1}{9c} ge2 sqrt{c. dfrac{1}{9c}}= dfrac{2}{3} end{cases} ) <=>S>=2/3+2/3+2/3+8/9(1/a+1/b+1/c) <=>S>=2+8/9(1/a+1/b+1/c) Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski dạng phân thức(cosi-schwart) ta có: 1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c) Mà a+b+c<=1 =>1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9 =>8/9(1/a+1/b+1/c)>=8 =>S>=2+8=10 Dấu '=' xảy ra khi: ( begin{cases}a= dfrac{1}{9a} b= dfrac{1}{9b} c= dfrac{1}{9c} dfrac{1}{a}= dfrac{1}{b}= dfrac{1}{c} a+b+c=1 end{cases} Leftrightarrow a=b=c= dfrac{1}{3} )