Toán Lớp 7: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM vuông góc với AC, CN vuông góc với AB.
Gọi D là giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng:
a. MB = NC
b. MD = ND
c. Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng,
Leave a reply
Comments ( 1 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
a )
Xét $ΔABC$ có :
$AB$ = $AC$ ( gt )
$⇒$ $ΔABC$ cân tại $A$
$⇒$ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ( $2$ góc tương ứng )
Xét tam giác vuông $ΔMBC$ và $ΔNCB$ có :
$\widehat{BNC}$ = $\widehat{CMB}$ = $90^{o}$
$BC$ cạnh chung
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ( cmt )
$⇒$ $ΔMBC$ = $ΔNCB$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
$⇒$ $MB$ = $NC$ ( đpcm )
b )
Xét tam giác vuông $ΔNDB$ và $ΔMDC$ có :
$\widehat{DNB}$ = $\widehat{DMC}$ = $90^{o}$
$\widehat{NDB}$ = $\widehat{MDC}$ ( đối đỉnh )
$NB$ = $MC$ ( $ΔMBC$ = $ΔNCB$ )
$⇒$ $ΔNDB$ = $ΔMDC$ ( cạnh góc vuông – góc nhọn kề )
$⇒$ $MD$ = $ND$ ( đpcm )
c )
Xét $ΔABM$ và $ΔACN$ có :
$\widehat{ANC}$ = $\widehat{AMB}$ = $90^{o}$
$\widehat{A}$ góc chung
$AB$ = $AC$ ( gt )
$⇒$ $ΔABM$ = $ΔACN$ ( cạnh huyền – góc nhọn )
$MBA$ = $NCB$ ( 2 góc tương ứng )
Ta có :
$\widehat{DBC}$ = $\widehat{ABC}$ – $\widehat{MBA}$ = $\widehat{ACB}$ – $\widehat{NCB}$ = $\widehat{DCB}$
$→$ $ΔDCB$ cân tại $D$
$→$ $DB$ = $DC$
$DM$ = $BM$ – $DB$ = $CN$ – $DC$ = $DN$
Từ đó ta có :
$AB$ = $AC$ ( gt )
$DB$ = $DC$ ( cmt )
$EB$ = $EC$ ( E là trung điểm BC )
$⇒$ $A ; D ; E $ ∈ đường trung trực $BC$
$⇒$ $A ; D ; E $ thẳng hằng