Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: 1.Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c ≥ 3. Cm: a ³ + b ³ + c ³ ≥ 3. 2.Cho x,y,z > 0. Cm: x ³/y ² + y ³/z ² +z ³/x ² ≥ x+y+z. 3.Cho a,b,c > 0. Cm:

Home/ Toán Lớp 9: 1.Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c ≥ 3. Cm: a ³ + b ³ + c ³ ≥ 3. 2.Cho x,y,z > 0. Cm: x ³/y ² + y ³/z ² +z ³/x ² ≥ x+y+z. 3.Cho a,b,c > 0. Cm:

Toán Lớp 9: 1.Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c ≥ 3. Cm: a ³ + b ³ + c ³ ≥ 3. 2.Cho x,y,z > 0. Cm: x ³/y ² + y ³/z ² +z ³/x ² ≥ x+y+z. 3.Cho a,b,c > 0. Cm:

Tháng Mười Một 27, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: 1.Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c ≥ 3. Cm: a ³ + b ³ + c ³ ≥ 3.
2.Cho x,y,z > 0. Cm: x ³/y ² + y ³/z ² +z ³/x ² ≥ x+y+z.
3.Cho a,b,c > 0. Cm: a ³/b ³ + b ³/c ³ + c ³/a ³ ≥ a ²/bc +b ²/ca + c ²/ab.
Mong mn giúp mk. Cảm ơn.

Comments ( 2 )

  1. thudan
    thudan
    27 Tháng Mười Một, 2022 at 8:08 chiều
    Reply
    1
    Áp dụng Cauchy:
    $a^3+1+1 \geq 3.\sqrt[3]{a^3}=3a$
    Nên $a^3+2 \geq 3a$
    Suy ra $a^3+b^3+c^2 \geq 3(a+b+c)-6=3$
    2. 
    Áp dụng Cauchy Schwarz có:
    $\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2} \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$
    Tức cần chứng minh $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq (xy^2+yz^2+zx^2)(x+y+z)$
    $⇔x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)+xy^3+zx^3+yz^3$
    $⇔(x^2-xz)^2+(y^2-xy)^2+(z^2-yz)^2+x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)(*)$
    Lại có $x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)$
    Nên $(*)$ đúng
    Vậy bđt đc cminh
    3. Đặt $\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z⇒xyz=1$
    Khi đó bđt $⇔x^3+y^3+z^3 \geq \dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}$
    $⇔x^3+y^3+z^3≥x^2y+y^2z+z^2x$
    Áp dụng bđt cauchy
    $x^3+x^3+y^3 \geq 3.x^2y$
    Tương tự r + vào ta có đpcm
    Dấu = các bài xảy ra khi 3 biến = nhau

  2. tonhitruc
    tonhitruc
    27 Tháng Mười Một, 2022 at 8:08 chiều
    Reply
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Bài 1:
    Áp dụng bất đẳng thức $Holder$:
    Ta có:
    $(a^3+b^3+c^3).(1+1+1).(1+1+1) \geq (a.1.1+b.1.1+c.1.1)^3 = (a+b+c)^3$ $⇒a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9} \geq \frac{3^3}{9}=3 $
    ->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$
    Bài 2: Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
    $⇒\frac{x^3}{y^2} +x \geq 2.\frac{x^2}{y}$  (1)
    $⇒\frac{y^3}{z^2} +y \geq 2.\frac{y^2}{z}$  (2)
    $⇒\frac{z^3}{x^2} +z \geq 2.\frac{z^2}{x}$  (3)
    Cộng các vế trên lại, $(1)+(2)+(3)$:
    $⇒\frac{x^3}{y^2} +\frac{y^3}{z^2} +\frac{z^3}{x^2} \geq 2.(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})-(x+y+z)$ (4)
    Ta sẽ đi chứng minh: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq x+y+z$
    Tiếp tục Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
    $⇒\frac{x^2}{y}+y \geq 2x$ (5)
    $⇒\frac{y^2}{z}+z \geq 2y$ (6)
    $⇒\frac{z^2}{x}+x \geq 2z$ (7)
    Cộng các vế trên lại, $(5)+(6)+(7)$:
    $⇒\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 2.(x+y+z) -(x+y+z) =x+y+z$ 
    Vậy từ $(4)⇒2.(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})-(x+y+z) \geq x+y+z$
    $⇒\frac{x^3}{y^2} +\frac{y^3}{z^2} +\frac{z^3}{x^2} \geq x+y+z$ 
    ->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$
    Bài 3: 
    Đặt: $x=\frac{a}{b}$ , $y=\frac{b}{c}$ , $z=\frac{c}{a}$  $(x,y,z >0)$
    ĐIều cần chứng minh chuyển thành: $x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$
    Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:
    $⇒x^3+x^3+y^3 \geq 3.x^2y$ (1)
    $⇒y^3+y^3+z^3 \geq 3.y^2z$ (2)
    $⇒z^3+z^3+x^3 \geq 3.z^2x$ (3)
    Cộng các vế trên lại với nhau, $(1)+(2)+(3):$
    $⇒3.(x^3+y^3+z^3) \geq 3.(x^2y+y^2z+z^2x)$
    $⇔x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$
    ->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z ⇔ a=b=c$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

An Kim

About An Kim