Toán Lớp 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: `xyz=x+y+z`.

Question

Toán Lớp 9:  Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: xyz=x+y+z.

buithaianh98 · Answer

xyz=x+y+z     Chia hai vế của (1) cho xyz kh&aacute;c   0 ta được:       1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)=1      Giả sử x&ge;y&ge;z=1 ta c&oacute;:      1=1/(yz)+1/(xz)+1/(xy)&le;1/z^2+1/z^2+1/z^2=3/z^2       &rArr;1&le;3/z^2&rArr;z^2&le;3&hArr;x=1         Thay z=1 v&agrave;o (1) ta được:       x+y+1=xy     &hArr;xy-x-y=1     &hArr;x(y-1)-(y-1)=2     $&hArr;(x&minus;1)(y&minus;1)=2$      M&agrave; (x-1)&ge;(y-1) n&ecirc;n:     x-1=2 hoặc y-1=1     &rArr;x=3 hoặc y=2

diemchau · Answer

Giải đáp: Ta có: xyz=x+y+z <=> 1/(xy)+1/(yz)+1/(zx)=1 Giả sử: x ge y ge z. +)Với z ge 3 thì 1/(xy)+1/(yz)+1/(zx) le 3/(z^2) le 1/3 <1(loại) +)Với z=2 thì phương trình đã cho trở thành 2xy=x+y+2 hay (2x-1)(2y-1)=5 Vì x ge y ge z => ( begin{cases}2x-1=5 2y-1=1 end{cases} )=> ( begin{cases}x=3 y=1 end{cases} ) +)Với z=1 thì phương trình đã cho trở thành xy=x+y+1 <=> (x-1)(y-1)=2 Vì x ge y ge z => ( begin{cases}x-1=2 y-1=1 end{cases} )=> ( begin{cases}x=3 y=2 end{cases} ) Vậy nghiệm nguyên dương (x;y;z) của phương trình lần lượt là: (3;2;1),(3;1;2),(2;3;1),(2;1;3),(1;3;2),(1;2;3)