Toán Lớp 12: Cho hình chóp SABCD. Tính thể tích hình chóp biết ABCD là hình vuông có AB=a, SBD là tam giác đều và SA=a

Question

Toán Lớp 12:  Cho hình chóp SABCD. Tính thể tích hình chóp biết ABCD là hình vuông có AB=a, SBD là tam giác đều và SA=a

diemchau · Answer

Giải đáp:   $V_{S.ABCD} =  dfrac{a^3}{3}$   Lời giải và giải thích chi tiết:   Gọi $O$ l&agrave; t&acirc;m của đ&aacute;y   $ Rightarrow  begin{cases}AC = BD = a sqrt2  OA = OB = OC =OD = dfrac{a sqrt2}{2} end{cases}$   $ Rightarrow SO =  dfrac{a sqrt6}{2} quad ( triangle SBD   text{đều})$   Ta c&oacute;:   $ begin{cases}SB = SD  AB = AD  CB = CD end{cases}$   $ Rightarrow (SAC) perp BD$   m&agrave; $BD subset (ABCD)$   n&ecirc;n $(SAC) perp (ABCD)$   X&eacute;t $ triangle SAO$ c&oacute;:   $SO =  dfrac{a sqrt6}{2}$   $OA =  dfrac{a sqrt2}{2}$   $SA = a$   $ Rightarrow  triangle SAO$ vu&ocirc;ng tại $A$   $ Rightarrow SA perp AO$   $ Rightarrow SA perp AC$   Khi đ&oacute;:   $ begin{cases}(SAC) perp (ABCD) quad (cmt)  (SAC) cap (ABCD) = AC  SA perp AC quad (cmt)  SA  subset (SAC) end{cases}$   $ Rightarrow SA perp (ABCD)$   Ta được:   $ quad V_{S.ABCD} =  dfrac13S_{ABCD}.SA =  dfrac13 cdot a^2  cdot a$   $ Leftrightarrow V_{S.ABCD} =  dfrac{a^3}{3}$

dinhcongson · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:    Theo đề b&agrave;i ta c&oacute;:   $S_{ABCD}=a.a=a^2$   $Do ABCD $ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng   $&rArr;AC=BD=a sqrt2$   $&rArr;OA=OB=OC=OD= frac{a sqrt2}{2}$   Ta c&oacute;:   $&Delta;SBD$ đều    Như vậy:   $&rArr;SB=SD=BD=a sqrt2$   Gọi O l&agrave; t&acirc;m h&igrave;nh vu&ocirc;ng   Như vậy: O l&agrave; Trung điểm BD   $&rArr;SO= frac{a sqrt6}{2}$   X&eacute;t $&Delta;SAO$ c&oacute;:   $SA^2+AO^2=a^2+ frac{a^2}{2}= frac{3a^2}{2}$   m&agrave; $SO^2= frac{3a^2}{2}$   Như vậy theo hệ quả pythagoras:   $&rArr;&Delta;SAO$ vu&ocirc;ng tại A   Ta c&oacute;:   $BD&perp;SO&sub;(SAC)$   $BD&perp;AC&sub;(SAC)$   $&rArr;BD&perp;(SAC)$   m&agrave; $BD&sup;(ABCD)$   Như vậy tức l&agrave; :   $(ABCD)&perp;(SAC)$   m&agrave; $(ABCD)&cap;(SAC)=AC$   theo đề b&agrave;i ta c&oacute;:   $SA&perp;AC(&Delta;SAC&perp;A)$   v&agrave; $SA&sub;(SAC)$   từ đ&oacute;:   $&rArr;SA&perp;(ABCD)$   Như vậy:   $&rArr;V_{S.ABCD}= frac{1}{3}.a^2.a= frac{a^3}{3}$    #X