Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 10: Cho các số dương a,b,c .Chứng minh $\rm\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(a+c)^3}{8ac

Tháng Tám 29, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 10: Cho các số dương a,b,c .Chứng minh $\rm\sqrt{\frac{(a+b)^3}{8ab(4a+4b+c)}}+\sqrt{\frac{(b+c)^3}{8bc(4b+4c+a)}}+\sqrt{\frac{(a+c)^3}{8ac(4a+4c+b)}} \ge 1$

Comments ( 2 )

  1. hienthucthu97
    hienthucthu97
    29 Tháng Tám, 2022 at 11:37 chiều
    Reply
    Giải đáp + giải thích các bước giải:
    Áp dụng bất đẳng thức Holder:
    (\sqrt{(a+b)^3/(8ab(4a+4b+4c))}+\sqrt{(b+c)^3/(8bc(4b+4c+a))}+\sqrt{(a+c)^3/(8ac(4a+4c+b))})^2 [8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ca(4a+4c+b)]>=(a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3
    Vậy ta cần chứng minh: 
    (8(a+b+c)^3)/(8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ca(4a+4c+b))>=1
    ->(a+b+c)^3>=ab(4a+4b+c)+bc(4b+4c+a)+ca(4a+4c+b)
    ->(a+b+c)^3>=4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+3abc
    ->(a+b+c)^3+9abc>=4ab(a+b)+4bc(b+c)+4ca(c+a)+12abc
    ->(a+b+c)^3+9abc>=4(ab+bc+ca)(a+b+c)
    Đây là bất đẳng thức Schur
    ->đpcm
    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

  2. cobebongdem
    cobebongdem
    29 Tháng Tám, 2022 at 11:36 chiều
    Reply
    Bạn kham khảo
    Gọi P là biểu thức vế trái và đặt 
    S=8ab(4a+4b+c)+8bc(4b+4c+a)+8ac(4a+4c+b)
    ->S=32(a+b+c)(ab+bc+ac)-72abc
    Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có:
    P.P.S>=(a+b+b+c+c+a)^3=8(a+b+c)^3
    Vậy ta chứng minh:
    8(a+b+c)^3>= S
    <=>8(a+b+c)^3>=32(a+b+c)(ab+bc+ac)-72abc
    <=>(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ac)
    Đây chính là bất đẳng thức Schur bâc 3.
    Bất đẳng thức được chứng minh 
    Đẳng thức xảy ra khi:
    a=b=c

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Bảo Anh

About Bảo Anh