Toán Lớp 9: giải phương trình nghiệm nguyên dương `(x^3-y^3) +3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25`

Question

Toán Lớp 9:  giải phương trình nghiệm nguyên dương (x^3-y^3) +3(x^2-y^2)+3(x-y)=(x+1)(y+1)+25

khanhngantoan · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Đặt $ z = x + 1; t = y + 1$

$ PT <=> z^{3} – t^{3} = zt + 25 (1)$

$ <=> (z – t)^{3} + 3zt(z – t) = zt + 25$

Đặt $ u = z – t; v = zt$

$ PT <=> v(3u – 1) = – u^{3} + 25$

$ <=> v = \dfrac{- u^{3} + 25}{3u – 1} (1)$

$ <=> 27v = – (9u^{2} + 3u + 1) + \dfrac{674}{3u – 1}$

$ => 3u – 1$ là ước của $ 674 = 1.2.337$

$ => 3u – 1 = – 337; – 1; 2; 674 => u = – 112; 0; 1; 225$

– Với $ : u = – 112$ thay vào $(1) => v = 4169$

$ z; – t $ là nghiệm PT $ : X^{2} + 112X – 4196 = 0 $

$ => z; t $ ko nguyên => VN

– Với $ : u = 0$ thay vào $(1) => v = – 25$

$ => z; – t $ là nghiệm PT $ : X^{2} + 25 = 0 $

– Với $ : u = 1$ thay vào $(1) => v = 12$

$ => z; – t $ là nghiệm PT $: X^{2} – X – 12 = 0$

$ => (z; t ) = (- 3; – 4); (4; 3) => (x; y) = (- 4; – 5); (3; 2)$

– Với $ : u = 225$ thay vào $(1) => 16900$

$ z; – t $ là nghiệm PT $ : X^{2} – 225X – 16900 = 0 $

$ z; t$ ko nguyên => VN

KL $ (x; y) = (-4;-5);(3;2)$

Comments ( 1 )