Toán Lớp 9: CM : m^5 + 29m chia hết cho 30 với mọi m thuộc z

Question

Toán Lớp 9:  CM : m^5 + 29m chia hết cho 30 với mọi m thuộc z

maitrucloan · Answer

Giải đáp:   chứng minh   Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute; :   $m^{5} + 29m = ( m^{5} - m ) + 30m$ $( m &isin; Z )$   &hArr; $m^{5} + 29m = m( m^{4} - 1 ) + 30m$   &hArr; $m^{5} + 29m = m( m^{2} - 1 )( m^{2} + 1 ) + 30m$   &hArr; $m^{5} + 29m = m( m - 1 )( m + 1 )[ ( m^{2} - 4 ) + 5 ] + 30m$   &hArr; $m^{5} + 29m = m( m - 1 )( m + 1 )( m^{2} - 4 ) + 5m( m - 1 )( m + 1 ) + 30m$   &hArr; $m^{5} + 29m = m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 ) + 5m( m - 1 )( m + 1 ) + 30m$ (*)   V&igrave; $m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 )$ l&agrave; t&iacute;ch của 5 số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp   &rArr; $m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 )$ chia hết cho $2 , 3 , 5$   M&agrave; $( 2, 3 ,5 ) = 1$   &rArr; $m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m +2 )$ chia hết cho $( 2.3.5)$   &hArr; $m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 )$ chia hết cho $30$ (1)   V&igrave; $5m( m - 1 )( m + 1 )$ l&agrave; t&iacute;ch của 3 số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp   &rArr; $5m( m - 1 )( m + 1 )$ chia hết cho $2 , 3$   M&agrave; $( 2 , 3 ) = 1$   &rArr; $5m( m - 1 )( m + 1 )$ chia hết cho $6$   V&igrave; $5$ chia hết cho $5$   &rArr; $5m( m - 1 )( m + 1 )$ chia hết cho $5$   M&agrave; $( 5 , 6 ) = 1$   &rArr; $5m( m - 1 )( m + 1 )$ chia hết cho $30$ (2)   V&igrave; $30$ chia hết cho $30$   &rArr; $30m$ chia hết cho $30$ (3)   Từ (1) (2) (3) &rArr; $(*)$ chia hết cho $30$   hay $m^{5} + 29m$ chia hết cho $30$ với $&forall; m &isin; Z$