Toán Lớp 9: cho `x;y;z` là `3` số dương thỏa `4x+9y+16z=49` CMR : `T=1/x+25/y+64/zge49`

Question

Toán Lớp 9:  cho x;y;z là 3 số dương thỏa 4x+9y+16z=49 CMR : T=1/x+25/y+64/zge49

minhtuyethue · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:      T=1/x+25/y+64/z   T=4x+1/x+9y+25/y+16z+64/z-(4x+9y+16)   &Aacute;p dụng bất đẳng thức cosi ta c&oacute;:   4x+1/x>=4   9y+25/y>=30   16z+64/z>=64   =>T>=4+30+64-49=49   Dấu '=' xảy ra khi {(4x=1/x),(9y=25/y),(64z=16z):}<=>{(x=1/2),(y=5/3),(z=2):}

quynhmaithu · Answer

$T= dfrac{1}{x}+ dfrac{25}{y}+ dfrac{64}{z}$   $&rArr;49.T=(4x+9y+16z). left ( dfrac{1}{x}+ dfrac{25}{y}+ dfrac{64}{z}  right )$   $=[(2 sqrt{x})^2+(3 sqrt{y})^2+(4 sqrt{z})^2]. left [ left ( dfrac{1}{ sqrt{x}}  right )^2+ left ( dfrac{5}{ sqrt{y}}  right )^2+ left ( dfrac{8}{ sqrt{z}}  right )  right ]$   &Aacute;p dụng BĐT Bunhiacopxki v&agrave;o $6$ số $2 sqrt{x} ; 3 sqrt{y} ; 4 sqrt{z}$ v&agrave; $ dfrac{1}{ sqrt{x}} ;  dfrac{5}{ sqrt{y}} ;  dfrac{8}{ sqrt{z}} :$   $49T=[(2 sqrt{x})^2+(3 sqrt{y})^2+(4 sqrt{z})^2]. left [ left ( dfrac{1}{ sqrt{x}}  right )^2+ left ( dfrac{5}{ sqrt{y}}  right )^2+ left ( dfrac{8}{ sqrt{z}}  right )  right ]  geq  left (2 sqrt{x}. dfrac{1}{ sqrt{x}}+3 sqrt{y}. dfrac{5}{ sqrt{y}}+4 sqrt{x}. dfrac{8}{ sqrt{z}}  right )^2=(2+15+32)^2=49^2$   $&rArr;49T  geq 49^2$   Hay $T  geq 49$   Dấu '=' xảy ra khi :   $ left {  begin{matrix} dfrac{1}{2x}= dfrac{5}{3y}= dfrac{8}{4z}  4x+9y+16z=49 end{matrix}  right.$   $&hArr; left {  begin{matrix}x= dfrac{1}{2}  y= dfrac{5}{3}  z=2 end{matrix}  right.$