Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC vuông tại A a) chứng minh tanB + cosB lớn hơn bằng 2 b) Khi sinB + cosB=căn 2 . Hãy tính góc B c) H là trung điểm AB,

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC vuông tại A a) chứng minh tanB + cosB lớn hơn bằng 2  b) Khi sinB + cosB=căn 2 . Hãy tính góc B c) H là trung điểm AB, đường thẳng qua H vuông góc với BC tại I và cắt tia AC tại K. Chứng minh tan C x tan BKC =2

hothaibinh · Answer

Nếu  hat{B}=30&deg;=>tanB= sqrt{3}/3;cosB= sqrt{3}/2   => sqrt{3}/3+ sqrt{3}/2<2 (kh&ocirc;ng thỏa m&atilde;n đề b&agrave;i c&acirc;u a)   => sửa đề c&acirc;u a: tanB+cotB ge 2   a) X&eacute;t $∆ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$   =>tanB={AC}/{AB}; cotB={AB}/{AC}   =>tanB>0;cotB>0   &Aacute;p dụng bất đẳng thức Cosi với tanB;cotB>0 ta c&oacute;:    qquad tanB+cotB ge 2 sqrt{tanB .cotB}    ge 2 sqrt{{AC}/{AB}.{AB}/{AC}}=2   Dấu '=' xảy ra khi:    qquad tanB=cotB=>{AC}/{AB}={AB}/{AC}   =>AB^2=AC^2=>AC=AB hay $∆ABC$ vu&ocirc;ng c&acirc;n tại $A$   Vậy tanB+cotB ge 2 (đpcm)   $  $   b) $∆ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$   =>AB^2+AC^2=BC^2 (định l&yacute; Pytago)   $  $    qquad sinB={AC}/{BC};cosB={AB}/{BC}   V&igrave; sinB+cosB= sqrt{2} (gt)    =>{AC}/{BC}+{AB}/{BC}= sqrt{2}     =>{AC+AB}/{BC}= sqrt{2}     =>AB+AC= sqrt{2}BC      =>(AB+AC)^2=( sqrt{2}BC)^2     =>AB^2+AC^2+2AB.AC=2BC^2     =>BC^2+2AB.AC=2BC^2      =>2AB.AC=BC^2    M&agrave; AB^2+AC^2=BC^2   =>AB^2+AC^2=2AB.AC   =>AB^2+AC^2-2AB.AC=0   =>(AB-AC)^2=0   =>AB=AC=>∆ABC c&acirc;n tại $A$   V&igrave; $∆ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$   =>∆ABC vu&ocirc;ng c&acirc;n tại $A$   => hat{B}=45&deg;   $  $   c) $H$ l&agrave; trung điểm $AB$ (gt)   =>AB=2AH   $  $   X&eacute;t $∆HAK$ v&agrave; $∆CIK$ c&oacute;:    qquad  hat{K} chung    qquad  hat{HAK}= hat{CIK}=90&deg;   =>∆HAK∽∆CIK (g-g)   =>{AH}/{IC}={AK}/{IK}   =>IC.AK=IK.AH   $  $   X&eacute;t $∆KIC$ vu&ocirc;ng tại $I$   =>tanC={IK}/{IC}   X&eacute;t $∆ABK$ vu&ocirc;ng tại $A$   =>tan hat{BKA}={AB}/{AK}   =>tan hat{BKC}={AB}/{AK}   $  $   =>tanC.tan hat{BKC}={IK}/{IC} . {AB}/{AK}   ={IK.AB}/{IC.AK}={IK.2AH}/{IK.AH}=2   Vậy tanC.tan hat{BKC}=2 (đpcm)