Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC, D, E, F thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA, AB ; H là hình chiếu của D

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC, D, E, F thứ tự là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA, AB ; H là hình chiếu của D trên EF. Chứng minh HD là tia phân giác của góc BHC.

daithanh · Answer

Gọi (O;R) l&agrave; đường tr&ograve;n nội tiếp $∆ABC$   Vẽ $BM;CN perp EF$ lần lượt tại $M;N$   =>BM//$DH$//$CN$   =>{CD}/{BD}={NH}/{MH} $(1)$   $  $   V&igrave; $O$ l&agrave; t&acirc;m đường tr&ograve;n nội tiếp $∆ABC$   =>O l&agrave; giao điểm ba đường ph&acirc;n gi&aacute;c trong của $∆ABC$   =>AO l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c của  hat{EAF}   => hat{EAO}= hat{FAO}   $E;F$ l&agrave; c&aacute;c tiếp điểm   => hat{AEO}= hat{AFO}=90&deg;   X&eacute;t $∆AEO$ v&agrave; $∆AFO$ c&oacute;:    qquad  hat{AEO}= hat{AFO}=90&deg;    qquad AO l&agrave; cạnh chung     qquad  hat{EAO}= hat{FAO}   =>∆AEO=∆FAO (cạnh huyền -g&oacute;c nhọn)   =>AE=AF   =>∆AEF c&acirc;n tại $A$   => hat{AEF}= hat{AFE}   M&agrave;  hat{CEN}= hat{AEF} (hai g&oacute;c đối đỉnh)    qquad  hat{BFM}= hat{AFE} (hai g&oacute;c đối đỉnh)   => hat{CEN}= hat{BFM}   $  $   Tương tự ta c&oacute;: CE=CD;BF=BD   $  $   X&eacute;t $∆CEN$ v&agrave; $∆BFM$ c&oacute;:    qquad  hat{CNE}= hat{BMF}=90&deg;    qquad hat{CEN}= hat{BFM}   =>∆CEN∽∆BFM (g-g)   =>{CN}/{BM}={CE}/{BF}={CD}/{BD} $(2)$   Từ (1);(2)=>{CN}/{BM}={NH}/{MH}   X&eacute;t $∆CNH$ v&agrave; $∆BMH$ c&oacute;:    qquad  hat{CNH}= hat{BMH}=90&deg;    qquad {CN}/{BM}={NH}/{MH}   =>∆CNH∽∆BMH (c-g-c)   => hat{CHN}= hat{BHM}   =>90&deg;- hat{CHN}=90&deg;- hat{BHM}   => hat{CHD}= hat{BHD}   M&agrave; tia $HD$ nằm giữa hai tia $HB$ v&agrave; $HC$   =>HD l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của  hat{BHC} (đpcm)