Toán Lớp 9: Cho phương trình `ax^2 + bx + c = 0` có các hệ số `a, b ,c` là các số nguyên lẻ . Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các ng

Question

Toán Lớp 9:  Cho phương trình ax^2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b ,c là các số nguyên lẻ . Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ .

thanhmaianh · Answer

V&igrave; $a$ l&agrave; số nguy&ecirc;n lẻ n&ecirc;n $a ne 0$ n&ecirc;n phương tr&igrave;nh n&agrave;y l&agrave; phương tr&igrave;nh bậc hai   Phương tr&igrave;nh c&oacute; nghiệm khi $ Delta ge 0 Rightarrow b^2-4ac ge 0$   L&uacute;c n&agrave;y phương tr&igrave;nh c&oacute; nghiệm dạng:   $ left[  begin{array}{l} {x_1} =  dfrac{{ - b +  sqrt  Delta  }}{{2a}}   {x_2} =  dfrac{{ - b -  sqrt  Delta  }}{{2a}}  end{array}  right.$   Để phương tr&igrave;nh c&oacute; nghiệm l&agrave; số hữu tỉ th&igrave; $ Delta$ l&agrave; số ch&iacute;nh phương do c&aacute;c hệ số $a,b,c$ l&agrave; số nguy&ecirc;n lẻ.   $ Rightarrow b^2$ l&agrave; số nguy&ecirc;n lẻ.   $ begin{array}{l} b = 2k + 1  Rightarrow {b^2} = { left( {2k + 1}  right)^2}    = 4{k^2} + 4k + 1    = 4k left( {k + 1}  right) + 1  equiv 1 left( { bmod 8}  right)  end{array}$   Vậy với mọi số ch&iacute;nh phương lẻ chia $8$ dư 1   Từ đ&oacute; ta đặt được $b^2=8k+1(k in  mathbb{Z})$   V&igrave; $a,c$ l&agrave; số nguy&ecirc;n lẻ n&ecirc;n $ac$ lẻ   Đặt $ac=2u-1$ th&igrave;:   $ begin{array}{l}  Delta  = {b^2} - 4ac = 8k + 1 - 4 left( {2u - 1}  right) = 8k - 8u + 5    = 8 left( {k - u}  right) + 5  equiv 5 left( { bmod 8}  right)  end{array}$   M&agrave; theo bổ đề tr&ecirc;n th&igrave; mọi số nguy&ecirc;n lẻ chia $8$ dư 1 n&ecirc;n ta c&oacute; $ Delta$ kh&ocirc;ng l&agrave; số ch&iacute;nh phương từ đ&oacute; $ sqrt{ Delta}$ l&agrave; số v&ocirc; tỉ n&ecirc;n phương tr&igrave;nh c&oacute; nghiệm kh&ocirc;ng thể l&agrave; số hữu tỉ.