Toán Lớp 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a .M di động trên cạnh BC .Tia AM ∩CD=N Tìm M để AM.AN đạt GTNN

Question

Toán Lớp 9:  Cho hình vuông ABCD cạnh a .M di động trên cạnh BC .Tia AM ∩CD=N Tìm M để AM.AN đạt GTNN

thanhbinh2k5 · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     Qua A kẻ đường thẳng vu&ocirc;ng g&oacute;c với AM, đường thẳng n&agrave;y cắt CD tại E   X&eacute;t &Delta;ADE v&agrave; &Delta;ABM, c&oacute;:   +)  hat{ADE}= hat{ABM}   +) AD=AB   +)  hat{EAD}= hat{MAB} (c&ugrave;ng phụ  hat{DAM})   ->&Delta;ADE$ backsim$&Delta;ABM   ->AE=AM   X&eacute;t &Delta;AEN vu&ocirc;ng tại A c&oacute; đường cao AH, c&oacute;:   1/(AD)^2=1/(AE)^2+1/(AN^2)   ->1/a^2=1/(AM^2)+1/(AN)^2>=2 sqrt{1/(AM.AN)^2}   ->1/a^2>=2/(AM.AN)   ->AM.AN>=2a^2   Dấu bằng xảy ra khi AM=AN   ->M&equiv;N&equiv;C

cobexinhdep · Answer

Tr&ecirc;n tia đối tia $DC$ lấy $E$ sao cho $DE=BM$   Dễ chứng minh được tam gi&aacute;c ABM=tam gi&aacute;c ADE    n&ecirc;n $AM=AE$ v&agrave; $ widehat{EAD}= widehat{MAB}$   M&agrave; $ widehat{MAB}+ widehat{DAM}=90^o$   N&ecirc;n $ widehat{EAD}+ widehat{DAM}=90^o$   v&igrave; vậy tam gi&aacute;c EAN vu&ocirc;ng tại $A$   &Aacute;p dụng hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng c&oacute;:   $( dfrac{1}{AD})^2= dfrac{1}{AE^2}+ dfrac{1}{AN^2}  geq  dfrac{2}{AM.AN}$   N&ecirc;n $AM.AN  geq 2.AD^2=2a^2$   Dấu $=$ xảy ra $&hArr;AM=AN&hArr;M&equiv;C$