Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiế

Tháng Mười Một 28, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B . Từ một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB, vẽ các tiếp tuyến CD;CE với (O) (D;E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O’).Hai đường thẳng AD và AE cắt (O′) lần lượt tại M và N . Đường thẳng DE cắt MN tại I
Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm B,D,M,I cùng thuộc một đường tròn
b) MI.BE = BI.AE
c) Khi điểm c thay đổi trên tia đổi của tia AB thì đường thẳng DE luôn đi

Comments ( 1 )

  1. phuongthaongoc
    phuongthaongoc
    28 Tháng Mười Một, 2022 at 9:13 sáng
    Reply
    a) Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ – $\widehat{DEB}$
     Vì ABMN là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ – $\widehat{BNI}$
    Do đó$\widehat{DEB}$-$\widehat{BNI}$$\rightarrow$$\widehat{BEI}$+$\widehat{ABC}$=$180^o$
    $\Rightarrow$ BEIN là tứ giác nội tiếp
    $\Rightarrow$ $\widehat{BEN}$-$\widehat{BIN}$
    Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BEN}$-$\widehat{ADB}$
    Do đó $\widehat{BIN}$-$\widehat{ADB}$$\rightarrow$$\widehat{BIM}$+$\widehat{MDB}$=$180^o$
    $\Rightarrow$ BDMI là tứ giác nội tiếp
    $\Rightarrow$B, D, M, I cũng thuộc 1 đường tròn.
    b) Vì ABNM là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAE}$ = $\widehat{BMI}$ (1)
    Vì DAEB và DMIB là các tứ giác nội tiếp nên
    $\widehat{ABE}$=$\widehat{ADF}$ và $\widehat{MBI}$=$\widehat{ADE}$
    $\Rightarrow$$\widehat{ABE}$=$\widehat{MBI}$ (2)
    Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\triangle$BAE $\backsim$ $\triangle$BMI (g.g)
    $\Rightarrow$$\dfrac{BE}{BI}$=$\dfrac{AE}{MI}$$\Rightarrow$ MI . BE = BI . AE
    c) Ta chứng minh AD . BE = AE . BD
    Vì CD là tiếp tuyến của O nên $\widehat{CDA}$ = $\widehat{CBD}$
    $\Rightarrow$ $\triangle$CDA $\backsim$ $\triangle$CBD (g.g)
    $\Rightarrow$ $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{CD}{CB}$
    Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow$ $\dfrac{EA}{EB}$=$\dfrac{CE}{CB}$
    Mà theo tính chất tiếp tuyến ta có
    CD = CE nên $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{EA}{EB}$ $\Rightarrow$ AD . BE = AE . BD
    Ta chứng minh DE đi qua điểm K là giao điểm hai tiếp tuyến tại A và B của O
    Gọi $\widehat{K1}$ , $\widehat{K2}$ lần lượt là giao điểm DE với tiếp tuyến của O tại A và B
    Khi đó
    $\widehat{K_{1}AE}$ = $\widehat{K_{1}DA}$ $\Rightarrow$$\triangle$$K_{1}AE$$\backsim$$\triangle$$K_{1}DA$ (g.g)
    $\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$=$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$
    $\Rightarrow$($\dfrac{AE}{AD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$.$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$.
    Chứng minh tương tự ta có:
    ($\dfrac{BE}{BD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$
    Mà AD.BE=AE.BD$\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{BE}{BD}$
    $\longrightarrow$$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$.
    Do $K_{1}$ và $K_{2}$  đều nằm ngoài đoạn DF, nên $K_{1}$ và $K_{2}$ chia ngoài đoạn DF theo các tỷ số bằng nhau $\Rightarrow$$K_{1}$ $\equiv$ $K_{2}$ $\equiv$ K
    Vậy DE luôn đi qua điểm K cố định

    toan-lop-9-cho-hai-duong-tron-o-r-va-o-r-cat-nhau-tai-hai-diem-phan-biet-a-va-b-tu-mot-diem-c-th

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Băng

About Băng