Toán Lớp 9: Cho `a, b, c, x, y, z, m, n, p` là các số thực dương. `CM:(a + b + c)(ab + bc + ca) ≤9/8(a + b)(b + c)(c + a)`

Question

Toán Lớp 9:  Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các số thực dương.  CM:(a + b + c)(ab + bc + ca) ≤9/8(a + b)(b + c)(c + a)

ngoclanhoa · Answer

&aacute;p dụng co-si :   a+b&ge;2 sqrt(ab)   a+c&ge;2 sqrt(ac)   c+b&ge;2 sqrt(cb)   &rArr;(a+b)(b+c)(c+a)&ge;2 sqrt(ab).2 sqrt(ac).2 sqrt(cb)&ge;8abc   mặt kh&aacute;c : (a+b+c)(ab+bc+ac)=(a+b)(ab+bc+ac)+c(ab+bc+ac)=abc+(a+b)(ab+bc+ac+c^2)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)&le;1/8 (a+b)(b+c)(c+a)+1(a+b)(b+c)(c+a)&le;9/8 (a+b)(b+c)(c+a)   Đẳng thức xảy ra khi   a = b = c

danvanthu · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     Đ&acirc;y c&oacute; thể coi l&agrave; một bất đẳng thức nổi tiếng rồi, thường gọi l&agrave; bất đẳng thức 8-9. N&oacute; tương đương với (a+b)(b+c)(a+c)&ge;8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)  (8-9 nghe thuận hơn 9-8 n&ecirc;n gọi thế :v)     Chứng minh:      X&eacute;t (a+b+c)(ab+bc+ca)      =(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc      =(a+b)(ab+bc+ca)+c(ab+bc+ca)-abc+abc      =(a+b)(ab+bc+ca)+abc+c(bc+ca)-abc +abc      =(a+b)(ab+bc+ca)+c^2(b+a) +abc      =(ab+bc+ca+c^2)(a+b) +abc      =[b(a+c)+c(a+c)](a+b) +abc      =(b+c)(a+c)(a+b) +abc      &Aacute;p dụng bất đẳng thức C&ocirc;-si:      a+b+c>=3 root{3}{abc}      ab+bc+ca>=3 root{3}{a^2b^2c^2}      ->(a+b+c)(ab+bc+ca)>=9 root{3}{a^3b^3c^3}=9abc      ->(b+c)(a+c)(a+b) +abc>=9abc      ->(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc      ->((a+b)(b+c)(c+a))/9>=8/9 abc      ->(a+b)(b+c)(c+a)>=8/9 abc + 8/9 (a+b)(b+c)(c+a)      ->(a+b)(b+c)(c+a)>=8/9[abc+(a+b)(b+c)(c+a)]      ->(a+b)(b+c)(c+a)>=8/9(a+b+c)(ab+bc+ca)     ->đpcm     Dấu bằng xảy ra khi a=b=c