Toán Lớp 9: Cho a, b, c là các số thực thay đổi thỏa a, b, c ∈ [1; 3] và a+b+c=6 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P= a ²+b ²+c ²

Question

Toán Lớp 9:  Cho a, b, c là các số thực thay đổi thỏa a, b, c  ∈ [1; 3] và a+b+c=6 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: P= a ²+b ²+c ²

dongoctuan · Answer

Min:   &Aacute;p dụng Cauchy:   $a^2+4&ge;4a;b^2+4&ge;4b;c^2+4&ge;4c$   $&rArr;a^2+b^2+c^2+12&ge;4(a+b+c)=4.6=24&rArr;a^2+b^2+c^2&ge;12$   Dấu $=$ xảy ra $&hArr;a=b=c=2$   Max:   cho $(a;b;c)&rarr;(x+1;y+1;z+1)$ Suy ra $x;y;z&isin;[0;2]$   Kh&ocirc;ng mất t&iacute;nh tổng qu&aacute;t giả sử $x$ l&agrave; max trong bộ $x;y;z$   $&rArr;x+y+z=3&le;3x$   $&rArr;1&le;x&le;2$   $&hArr;(x-1)(x-2)&le;0$   N&ecirc;n $x^2+y^2+z^2&le;x^2+(y+z)^2=x^2+(3-x)^2=5+2(x-1)(x-2)&le;5$   Khi đ&oacute; $a^2+b^2+c^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(x+y+z)+3&le;5+2.3+3=14$   Dấu $=$ xảy ra $&hArr;x;y;z$ c&oacute; 1 số $=1$ 1 số $=0$ 1 số $=2$   hay $(a;b;c)=(1;2;3)$ v&agrave; ho&aacute;n vị