Toán Lớp 9: B1: cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của A= x²+y²+z²+xyz B2: cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTNN của B= (x+y)(y+z)(z+x)-2

Question

Toán Lớp 9:  B1: cho x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của A= x²+y²+z²+xyz B2: cho x,y,z dương thỏa mãn xyz=1. Tìm GTNN của B= (x+y)(y+z)(z+x)-2(x+y+z)

minhtuquynh · Answer

B2. x,y,z>0   {(x+yge sqrt{xy}),(y+z ge sqrt{yz}),(z+xge sqrt{zx}):}   ->(x+y)(y+z)(x+z)ge8xyz   2(x+y+z)ge6 $ sqrt[3]{xyz}$   ->B ge 8xyz-6 $ sqrt[3]{xyz}$   Dấu '=' xảy ra ra khi {(x=y=z=1),(xyz=1):}   ->B_{min}=8-6=2

tuanh · Answer

a,    Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r$   Khi đ&oacute; ta c&oacute;:   $A=p^2-2q+r$   Theo bất đẳng thức Schur c&oacute;: $p^3-4pq+9r  geq 0$   N&ecirc;n $r  geq  dfrac{4pq-p^3}{9}= dfrac{12q-27}{9}$   N&ecirc;n $A  geq 9-2q+ dfrac{12q-27}{9}=6- dfrac{2q}{3}$   $q  leq  dfrac{p^2}{3}=3$   N&ecirc;n $A  geq 6- dfrac{2.3}{3}=4$   Dấu $=$ xảy ra $&hArr;x=y=z=1$   b2   &Aacute;p dụng bđt: $(x+y)(y+z)(z+x)  geq  dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)$   Đặt như b1 ta c&oacute;:   $B  geq  dfrac{8}{9}pq-2p  geq  dfrac{8}{9}p.3. sqrt[3]{r^2}-2p= dfrac{8}{3}p-2p= dfrac{2}{3}p  geq  dfrac{2}{3}.3. sqrt[3]{r}=2$   Dấu $=$ xảy ra $&hArr;x=y=z=1$