Toán Lớp 8: Tìm Min hoặc Max
R=(x^2-4y^2)/(3x^2-4xy+5y^2)
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Tìm Min hoặc Max
R=(x^2-4y^2)/(3x^2-4xy+5y^2)
Comments ( 2 )
Giải đáp:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Tìm Min:
$ R = – 1 + (1 + \dfrac{x^{2} – 4y^{2}}{3x^{2} – 4xy + 5y^{2}})$
$ = – 1 + \dfrac{(3x^{2} – 4xy + 5y^{2}) + (x^{2} – 4y^{2})}{3x^{2} – 4xy + 5y^{2}}$
$ = – 1 + \dfrac{4x^{2} – 4xy + y^{2}}{x^{2} – 4xy + 4y^{2} + 2x^{2} + y^{2}} $
$ R = – 1 + \dfrac{(2x – y)^{2}}{(x – 2y)^{2} + 2x^{2} + y^{2}} >= – 1 + 0 = – 1$
Vậy $ MinR = – 1 <=> 2x – y = 0 <=> y = 2x$
Tìm Max:
$ R = \dfrac{4}{11} – (\dfrac{4}{11} – \dfrac{x^{2} – 4y^{2}}{3x^{2} – 4xy + 5y^{2}})$
$ = \dfrac{4}{11} – \dfrac{4(3x^{2} – 4xy + 5y^{2}) – 11(x^{2} – 4y^{2})}{11(3x^{2} – 4xy + 5y^{2})}$
$ = \dfrac{4}{11} – \dfrac{x^{2} – 16xy + 64y^{2}}{11(x^{2} – 4xy + 4y^{2} + 2x^{2} + y^{2})} $
$ R = \dfrac{4}{11} – \dfrac{(x – 8y)^{2}}{11[(x – 2y)^{2} + 2x^{2} + y^{2}]} =< \dfrac{4}{11} + 0 = \dfrac{4}{11}$
Vậy $ MaxR = \dfrac{4}{11} <=> x – 8y = 0 <=> x = 8y$
Giải đáp:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Với mọi $ a; b > 0$ Ta luôn có BĐT quen thuộc :
$ a^{3} + b^{3} >= a^{2}b + ab^{2} <=> \dfrac{1}{a^{3}} + \dfrac{1}{b^{3}} >= \dfrac{1}{a^{2}b} + \dfrac{1}{ab^{2}} (1)$
Với mọi $ k > 0$ Áp dụng BĐT Cô si – svac xơ và $ (1)$ ta có:
$ \dfrac{k}{a^{3} + b^{3}}+ \dfrac{1}{a^{3}} + \dfrac{1}{b^{3}} >= \dfrac{k}{a^{3} + b^{3}} + \dfrac{3}{3a^{2}b} + \dfrac{3}{3ab^{2}}$
$ >= \dfrac{(\sqrt{k} + \sqrt{3} + \sqrt{3})^{2}}{a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}} = \dfrac{k + 4\sqrt{3k} + 12}{(a + b)^{3}}$
Giả sử hằng số $k$ cũng thỏa mãn BĐT :
$ \dfrac{k + 4\sqrt{3k} + 12}{(a + b)^{3}} >= \dfrac{16 + 4k}{(a + b)^{3}}$
$ <=> k + 4\sqrt{3k} + 12 >= 16 + 4k$
$ <=> (\sqrt{3k} – 2)^{2} =< 0 => k = \dfrac{4}{3}$
Khi đó BĐT trong đề bài trở thành:
$ \dfrac{4}{3(a^{3} + b^{3})}+ \dfrac{1}{a^{3}} + \dfrac{1}{b^{3}} >= \dfrac{64}{3(a + b)^{3}} $
Áp dụng BĐT Cô si – svac xơ và $(1)$ dễ dàng
cm BĐT nầy đúng với mọi $ a; b > 0$ (em tự cm)
KL :$ k = \dfrac{4}{3}$
R+1
= (x^2-4y^2)/(3x^2-4xy+5y^2)+1
=(x^2-4y^2+3x^2-4xy+5y^2)/(3x^2-4xy+5y^2)
=(4x^2 – 4xy + y^2)/(x^2-4xy+4y^2 +2x^2+y^2)
= (2x-y)^2/((x-2y)^2 +2x^2+y^2)\ge 0
->R+1\ge 0->R\ge -1
Dấu “=” xảy ra khi : 2x-y=0<=>2x=y
Vậy min R=-1<=>2x=y
4/11-R
= 4/11 – (x^2-4y^2)/(3x^2-4xy +5y^2)
=(12x^2 – 16xy + 20y^2 – 11x^2+44y^2)/(11(3x^2 – 4xy+5y^2))
= (x^2 -16xy + 64y^2)/(11(x^2-4xy + 4y^2+2x^2 +y^2))
=(x-8y)^2/(11((x-2y)^2 + 2x^2+y^2))\ge 0
->4/11-R\ge 0->R\le 4/11
Dấu “=” xảy ra khi : x-8y=0<=>x=8y
Vậy max R=4/11<=>x=8y