Toán Lớp 8: tìm m và n để: `mx^3+nx^2+5x+50` chia hết cho `x^2+3x-10`

Question

Toán Lớp 8:  tìm m và n để: mx^3+nx^2+5x+50 chia hết cho x^2+3x-10

tuenhioanh · Answer

Giải đáp: {( m = -2 ),(n = -11 ):} Lời giải và giải thích chi tiết: Ta có định lí Bézout được phát biểu như sau : Số dư khi chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là giá trị của đa thức f(x) tại x=a (hay là f(a)) Hệ quả : f(x) vdots x - a <=> f(a) =0 ---- Đặt f(x) = mx^3 + nx^2 + 5x + 50 g(x) = x^2 + 3x - 10 = x^2 + 5x - 2x - 10 = x (x+5)- 2 (x+5) = (x-2)(x+5) Để f(x) chia hết cho g(x) thì : {(f(x) vdots x - 2 ),(f(x) vdots x + 5 ):} Áp dụng hệ quả định lí Bézout ta có : f(x) vdots x - 2 <=> f(2) = 0 <=> m . 2^3 + n . 2^2 + 5 . 2 + 50 = 0 <=> 8m + 4n + 10 + 50 =0 <=> 8m + 4n = -60 <=> 4 (2m+n) = -60 <=> 2m + n = -15 (1) Tương tự, áp dụng hệ quả định lí Bézout ta có : f(x) vdots x + 5 <=> f(-5) =0 <=> m . (-5)^3 + n . (-5)^2 + 5 . (-5) + 50 =0 <=> -125m + 25n - 25 + 50 =0 <=> -125m +25n = -25 <=> -25 (5m - n) = -25 <=> 5m - n = 1 (2) Cộng các vế tương ứng của (1) và (2) ta có : (2m+n) + (5m-n) = -15 + 1 <=> 2m + n + 5m - n = -14 <=> 7m = -14 <=> m = -2 Mà 2m + n = -15 nên n = -11 Vậy với {( m = -2 ),(n = -11 ):} thì mx^3 + nx^2 + 5x + 50 vdots x^2 +3x-10