Toán Lớp 8: tìm GTNN của M= $\dfrac{2}{xy}$ +$\dfrac{3}{x^2+y^2}$ , x,y>0 và x+y=1
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: tìm GTNN của M= $\dfrac{2}{xy}$ +$\dfrac{3}{x^2+y^2}$ , x,y>0 và x+y=1
Comments ( 2 )
$#Mai Phương$
$M = \dfrac{2}{xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}$
$M= \dfrac{4}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2}$
$M= (\dfrac{3}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2})+\dfrac{1}{2xy}$
$M= 3(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2})+\dfrac{1}{2xy}$
Áp dụng BĐT $Cô si swart$ ta có:
$\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}$$\geq$ $\dfrac{(1+1)^2}{x^2+y^2+2xy}= \dfrac{4}
{(x+y)^2}=\dfrac{4}{1^2}=4$
$\Rightarrow$ $3(\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2})$$\geq$ $12$ (1)
Mặt khác áp dụng BĐT cơ bản :
$\dfrac{1}{ab}$$\geq$ $\dfrac{4}{(a+b)^2}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{xy}$$\geq$ $\dfrac{4}{(x+y)^2}$
$\Rightarrow$ $\dfrac{1}{2xy}$$\geq$ $\dfrac{2}{(x+y)^2}= \dfrac{2}{1^2}=2$ (2)
Từ (1) và (2)
$\Rightarrow$ $M= (\dfrac{3}{2xy}+\dfrac{3}{x^2+y^2})+\dfrac{1}{2xy}$$\geq$ $12+2=14$
$\Rightarrow$ $M$ $\geq$ $14$
Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow$
$\begin{cases} \dfrac{1}{2xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}\\\dfrac{1}{xy}=\dfrac{4}{(x+y)^2}\\x+y=1\end{cases}$
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases} x^2+y^2=2xy\\(x+y)^2=4xy\\x+y=1\end{cases}$
Giải phương trình trên ta được
$\begin{cases} x=y\\x+y=1\\ \end{cases}$
$\Leftrightarrow$ $x=y=\dfrac{1}{2}$
Vậy $GTNN$ $M$ $=$ $14$ $\Leftrightarrow$ $x=y=\dfrac{1}{2}$
M=2/(xy)+3/(x^2+y^2)
=3/(x^2+y^2) + 3/(2xy) + 1/(2xy)
=3(1/(x^2+y^2)+1/(2xy)) + 1/(2xy)
Áp dụng BĐT 1/a+1/b>= 4/(a+b)(a,b>0) ta được :
1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>= 4/(x^2+2xy+y^2)=4/(x+y)^1=4/1=4
->3(1/(x^2+y^2)+1/(2xy)) >= 3.4=12
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x,y ta được :
x+y\ge 2\sqrt{xy}
->(x+y)^2\ge 4xy
->xy\le (x+y)^2/4
-> 1/(xy)\ge 4/(x+y)^2=4/1^2=4
-> 1/(2xy)\ge 2
-> M>= 2+12=14
Dấu “=” xảy ra khi : x=y=1/2
Vậy min M=14<=>x=y=1/2