Toán Lớp 8: Tìm GTNN của biểu thức sau: A=x^2+y^2-4x+5y+7 B=4x^2+y^2+2xy-6x+5

Question

Toán Lớp 8:  Tìm GTNN của biểu thức sau: A=x^2+y^2-4x+5y+7 B=4x^2+y^2+2xy-6x+5

truongankimtrong · Answer

Giải đáp:   $min_A= - dfrac{13}{4}  Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=2  y=- dfrac{5}{2} end{array}  right.   min_B=2  Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=1    y=-1 end{array}  right..$   Lời giải và giải thích chi tiết:   $A=x^2+y^2-4x+5y+7   =x^2-4x+4+y^2+5y+ dfrac{25}{4}- dfrac{13}{4}   =(x-2)^2+ left(y+ dfrac{5}{2} right)^2- dfrac{13}{4}  ge - dfrac{13}{4}    forall   x,y$   Dấu '=' xảy ra $ Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x-2=0  y+ dfrac{5}{2}=0 end{array}  right. Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=2  y=- dfrac{5}{2} end{array}  right.$    Vậy $min_A= - dfrac{13}{4}  Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=2  y=- dfrac{5}{2} end{array}  right.$    $B=4x^2+y^2+2xy-6x+5   =4x^2+2xy+ dfrac{y^2}{4}+ dfrac{3y^2}{4}-6x+5   = left(2x+ dfrac{y}{2} right)^2+ dfrac{3y^2}{4}-6x+5    = left(2x+ dfrac{y}{2} right)^2-6x- dfrac{3y}{2}+ dfrac{3y^2}{4}+ dfrac{3y}{2}+5   = left(2x+ dfrac{y}{2} right)^2-3 left(x- dfrac{y}{2} right)+ dfrac{3}{4} left(y^2+2x+1 right)+ dfrac{17}{4}   = left(2x+ dfrac{y}{2} right)^2-3 left(x- dfrac{y}{2} right)+ dfrac{9}{4}+ dfrac{3}{4} left(y+1 right)^2+2   = left(2x+ dfrac{y}{2}- dfrac{3}{2} right)^2+ dfrac{3}{4} left(y+1 right)^2+2  ge 2    forall   x,y$   Dấu '=' xảy ra $ Leftrightarrow  left { begin{array}{l} 2x+ dfrac{y}{2}- dfrac{3}{2}=0    y+1=0 end{array}  right.  Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=1    y=-1 end{array}  right.$    Vậy $min_B=2  Leftrightarrow  left { begin{array}{l} x=1    y=-1 end{array}  right..$