Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Tìm GTNN: a) N=x^2+y^2-3x+2y+3 b) P= 2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15 Làm đầy đủ các bước và chi tiết nha mng~

Tháng Mười Hai 7, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Tìm GTNN:
a) N=x^2+y^2-3x+2y+3
b) P= 2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15
Làm đầy đủ các bước và chi tiết nha mng~

Comments ( 2 )

  1. hoaiphuong85
    hoaiphuong85
    7 Tháng Mười Hai, 2022 at 7:42 sáng
    Reply
    Hướng dẫn trả lời:
    a) N = x^2 + y^2 – 3x + 2y + 3
    = (x^2 – 3x + 9/4) + (y^2 + 2y + 1) – 1/4
    = [x^2 – 2cdotxcdot3/2 + (3/2)^2] + (y^2 + 2cdotycdot1 + 1^2) – 1/4
    = (x – 3/2)^2 + (y + 1)^2 – 1/4
    Vì (x – 3/2)^2 ≥ 0 ∀ x; (y + 1)^2 ≥ 0 ∀ y
    nên (x – 3/2)^2 + (y + 1)^2 ≥ 0 ∀ x, y
    → (x – 3/2)^2 + (y + 1)^2 – 1/4 ≥ -1/4 ∀ x, y
    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: {((x – 3/2)^2 = 0),((y + 1)^2 = 0):}
    ⇔ {(x – 3/2 = 0),(y + 1 = 0):}
    ⇔ {(x = 3/2),(y = – 1):}
    Vậy GTNN của biểu thức N là -1/4 tại x = 3/2; y = -1
    b) P = 2x^2 + 5y^2 + 4xy + 8x – 4y + 15
    = (x^2 + 4xy + 4y^2) + (x^2 + 8x + 16) + (y^2 – 4y + 4) – 5
    = [x^2 + 2cdotxcdot2y + (2y)^2] + (x^2 + 2cdotxcdot4 + 4^2) + (y^2 – 2cdotycdot2 + 2^2) – 5
    = (x + 2y)^2 + (x + 4)^2 + (y – 2)^2 – 5
    Vì (x + 2y)^2 ≥ 0 ∀ x, y; (x + 4)^2 ≥ 0 ∀ x; (y – 2)^2 ≥ 0 ∀ x nên (x + 2y)^2 + (x + 4)^2 + (y – 2)^2 ≥ 0 ∀ x, y
    → (x + 2y)^2 + (x + 4)^2 + (y – 2)^2 – 5 ≥ -5 ∀ x, y
    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: {((x + 2y)^2 = 0),((x + 4)^2 = 0), ((y – 2)^2 = 0):}
    ⇔ {(x + 2y = 0),(x + 4 = 0), (y – 2 = 0):}
    ⇔ {(x = – 2y),(x = – 4), (y = 2):}
    ⇔ {(x = – 4), (y = 2):}
    Vậy GTNN của biểu thức M là -5 tại x = -4; y = 2

  2. truonganhthi
    truonganhthi
    7 Tháng Mười Hai, 2022 at 7:42 sáng
    Reply
    a/ $N\,=x^2+y^3-3x+2y+3\\\quad =\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+(y^2+2y+1)-\dfrac{1}{4}\\\quad =\left[x^2-2.x.\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right]+(y^2+2.y.1+1^2)-\dfrac{1}{4}\\\quad =\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+(y+1)^2-\dfrac{1}{4}$
    Ta có: $\begin{cases}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge 0\\(y+1)^2\ge 0\end{cases}$
    $→\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+(y+1)^2\ge 0\\↔N\ge -\dfrac{1}{4}\\→\min N=-\dfrac{1}{4}$
    $→$ Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x-\dfrac{3}{2}=0\\y+1=0\end{cases}$
    $↔\begin{cases}x=\dfrac{3}{2}\\y=-1\end{cases}$
    Vậy $N$ đạt GTNN là $-\dfrac{1}{4}$ khi $x=\dfrac{3}{2},y=-1$
    b/ $P\,=2x^2+5y^2+4xy+8x-4y+15\\\quad =(x^2+4xy+4y^2)+(x^2+8x+16)+(y^2-4y+4)-5\\\quad =[x^2+2.x.2y+(2y)^2]+(x^2+2.x.4+4^2)+(y^2-2.y.2+2^2)\\\quad =(x+2y)^2+(x+4)^2+(y-2)^2$
    Ta có: $\begin{cases}(x+2y)^2\ge 0\\(x+4)^2\ge 0\\(y-2)^2\ge 0\end{cases}$
    $→(x+2y)^2+(x+4)^2+(y-2)^2\ge 0$
    $↔P\ge -5$
    $→\min P=-5$
    $→$ Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x+2y=0\\x+4=0\\y-2=0\end{cases}$
    $↔\begin{cases}x=-2y\\x=-4\\y=2\end{cases}\\↔\begin{cases}x=-4\\y=2\end{cases}$
    Vậy $P$ đạt GTNN là $-5$ khi $x=-4,y=2$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Diệu Hằng

About Diệu Hằng