Toán Lớp 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của: `P=x^3+y^3+2x^2y^2` biết `x,y` là các số thực thỏa mãn $x+y=1$

Question

Toán Lớp 8:  Tìm giá trị nhỏ nhất của: P=x^3+y^3+2x^2y^2 biết x,y là các số thực thỏa mãn $x+y=1$

quynhthanhnghi · Answer

P=$x^{3}$+ $y^{3}$ +$2x^{2}$$y^{2}$    =$x^{3}$+ $y^{3}$= $(x+y)^{3}$-3xy(x+y)=1-3xy   =>P=$x^{3}$+ $y^{3}$+$2xy^{2}$$y^{2}$    =1-3xy+2(xy)^2   =2(xy-$ frac{1}{4})^{2}$ -2xy+$ frac{7}{8}$ &ge; -$ frac{(x+y)}{2}$ ^2 +$ frac{7}{8}$= $ frac{3}{8}$    V&acirc;̣y p=3/8 <=> X=y=$ frac{1}{2}$       Chúc bn học t&ocirc;́t và vote ctlhn cho mk mag choa nhóm nka

myngocla · Answer

P=x^3+y^3+2x^2y^2   P=(x+y)^3-3xy(x+y)+2x^2y^2   P=1-3xy+2x^2y^2   P=2(x^2y^2-3/2xy+1/2)   P=2[(xy)^2-2. xy. 3/4+9/16-1/16]   P=2(xy-3/4)^2-1/8   P=2[x(1-x)-3/4]^2-1/8   P=2(x-x^2-3/4)^2-1/8   P=2(x^2-x+3/4)^2-1/8   P=2(x^2-2.x. 1/2+1/4+1/2)^2-1/8   P=2[(x-1/2)^2+1/2]^2-1/8   Do (x-1/2)^2>=0   => (x-1/2)^2+1/2>=1/2   => 2[(x-1/2)^2+1/2]^2>=2.1/4=1/2   => 2[(x-1/2)^2+1/2]^2-1/8>=3/8   Dấu = xảy ra khi $ begin{cases}x+y=1  x= dfrac{1}{2} end{cases} &hArr; x=y= dfrac{1}{2}$   Vậy P_(min)=3/8<=>x=y=1/2