Toán Lớp 8: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 13x^2 + y^2 +4xy -2y -16x + 2015

Question

Toán Lớp 8:  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= 13x^2 + y^2 +4xy -2y -16x + 2015

hienchaudiem · Answer

$A=13x^2+y^2+4xy-2y-16x + 2015  =(4x^2+4xy+y^2) + (-4x-2y) + (9x^2 - 12x +4 ) +2011  =(2x+y)^2 - 2(2x+y).1+1^2 + (3x-2)^2 + 2010  =(2x+y-1)^2 + (3x-2)^2+2010$   Do $ begin{cases} (2x+y-1)^2 ge 0&forall;x,y  (3x-2)^2 ge 0&forall;x  end{cases}$   $ to (2x+y-1)^2 +(3x-2)^2+2010 ge 2010&forall;x,y   to A ge 2010&forall;x,y$   Dấu '$=$' xảy ra khi :   $ begin{cases} 2x+y-1=0  3x-2=0  end{cases}&harr; begin{cases} 2x+y=1  x= dfrac{2}{3}  end{cases}&harr; begin{cases} x= dfrac{2}{3}  y= dfrac{-1}{3} end{cases}$   Vậy $A_{min}=2010&harr; begin{cases} x= dfrac{2}{3}  y= dfrac{-1}{3} end{cases}$

thanhthuythu · Answer

Giải đáp:     Min A=2010 tại x=3/2,y=-2     Lời giải và giải thích chi tiết:     A=13x^2+y^2+4xy-2y-16x+2015   =>A=(4x^2+4xy+y^2)-(4x+2y)+1+(9x^2-12x+4)+2010   &rArr;A=[(2x+y)^2-2(2x+y)+1]+(3x-2)^2+2010   &rArr;A=(2x+y-1)^2+(3x-2)^2+2010   C&oacute; (2x+y-1)^2&ge;0&forall;x,y         (3x-2)^2&ge;0&forall;x   &rArr;(2x+y-1)^2+(3x-2)^2+2010&ge;2010&forall;x,y   Dấu '=' xảy ra khi:    begin{cases}2x+y-1=0  3x-2=0   end{cases}    begin{cases}2x+y=1  x=3/2   end{cases}    begin{cases}3+y=1  x=3/2   end{cases}    begin{cases}y=-2  x=3/2   end{cases}   Vậy Min A=2010 tại x=3/2,y=-2