Toán Lớp 8: text{Chứng minh rằng:} a^5b+29ab^5 text{chia hết cho 30} ∀ a, b ∈ Z
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: text{Chứng minh rằng:} a^5b+29ab^5 text{chia hết cho 30} ∀ a, b ∈ Z
Comments ( 2 )
Giải đáp:
Ta có $a^{5}b$+29a$b^{2}$
$a^5b +29ab^5\\=(a^5b – ab) – (ab^5 – ab) + 30ab^5\\= b (a^5-a) – a (b^5-b) +30ab^5$
$\bullet$ $30ab^5$
Ta thấy $30\vdots 30$
$\to 30ab^5\vdots 30∀a,b\in Z(1)$
$\bullet$ $a^5-a$
$=a(a^4-1)\\=a (a^2-1)(a^2+1)\\= a(a-1)(a+1) (a^2 – 4 +5)\\=a(a-1)(a+1)(a^2-4) +5 a(a-1)(a+1)\\=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$
Đánh giá :
$a,(a-1),(a+1),(a+2),(a-2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 5 số $\vdots 2,\vdots 3, \vdots 5$
Mà $(2;3;5)=1$
$\to a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots 30$
$a,a-1,a+1$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 3 số $\vdots 2,\vdots 3$
Mà $(2;3)=1$
$\to a(a-1)(a+1)\vdots 6\\\to a(a-1)(a+1)\vdots 30$
Do đó : $a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)\vdots 30$
$\to a^5-a\vdots 30\\\to b (a^5-a)\vdots 30∀a,b\in Z(2)$
Hoàn toàn tương tự có : $a(b^5-b)\vdots 30∀a,b\in Z$
$\to -a (b^5-b)\vdots 30∀a,b\in Z(3)\\(1)(2)(3)\\\to a^5b +29ab^5\vdots 30∀a,b\in Z$