Toán Lớp 8: một tam giác có 3 cạnh là a,b,c thỏa (a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3=a^3+b^3+c^3 chứng minh tam giác đó là tam giác đều

Question

Toán Lớp 8:  một tam giác có 3 cạnh là a,b,c thỏa (a+b-c)^3+(b+c-a)^3+(c+a-b)^3=a^3+b^3+c^3 chứng minh tam giác đó là tam giác đều

daolanhoa · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:            Đặt b+c&minus;a = x            c+a&minus;b =y            a+b&minus;c = z      &rArr; a ,b ,c > 0      $ text{Ta c&oacute; :}$ $ dfrac{y + z}{2}$ = a , $ dfrac{x + z}{2}$ = b , $ dfrac{x + y}{2}$ = c        &rArr; 8(x^3+y^3+z^3)=(x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3      &hArr;2(x^3+y^3+z^3)=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2      &hArr;(x^3+y^3&minus;x^2y&minus;xy^2)+(y^3+z^3&minus;y^2z&minus;yz^2)+(z^3+x^3&minus;z^2x&minus;zx^2)=0      &hArr;(x+y)(x&minus;y)^2+(y+z)(y&minus;z)^2+(z+x)(z&minus;x)^2=0      &rArr; x=y=z      &hArr; a=b=c      $ text{Vậy tam gi&aacute;c đ&oacute; đều}$

phuongthuydung · Answer

Đặt x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c   ->a,b,c>0   Ta c&oacute; : a=(y+z)/2,b=(z+x)/2,c=(x+y)/2   Vậy ta được    8(x^3+y^3+z^3)=(x+y)^3+(y+z)^3+(z+x)^3   ->2(x^3+y^3+z^3)=x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2   ->(x^3+y^3-x^2y-xy^2)+(y^3+z^3-y^2z-yz^2)+(z^3+x^3-z^2x-zx^2)=0   ->(x+y)(x-y)^2+(y+z)(y-z)^2+(z+x)(z-x)^2=0    ->x=y=z   => a=b=c    Vậy đ&acirc;y l&agrave; tam gi&aacute;c đều