Toán Lớp 8: CMR: `∀ n ∈ N` thì `n^5` và `n` có tận cùng giống nhau

Question

Toán Lớp 8:  CMR:  ∀ n ∈ N thì n^5 và n có tận cùng giống nhau

dongoclandiem · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:        X&eacute;t hiệu n^5 - n ta c&oacute; :          n^5 - n        = n( n^4 - 1)       = n ( n^2 - 1)( n^2 + 1)       = n ( n^2 - 1)( n^2 -4+5 )       = n ( n^2 - 1)( n^2 -4)+ n( n^2 - 1).5       = n ( n - 1)(n+1)( n-2)(n+2) + n5.(n-1)(n+1)       = ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) + 5.(n-1)n(n+1)       Ta c&oacute; ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) l&agrave; 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp (n&isin;N)       &rArr; $ exists$ một thừa số chia hết cho 5 , một thừa số chia hết cho 2(  &forall;    n    &isin;    N)         M&agrave; (2;5)=1       &rArr; ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) $ vdots$ 5.2(  &forall;    n    &isin;    N)         &hArr; ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2) $ vdots$ 10  (  &forall;    n    &isin;    N)      (1)          Lại c&oacute;:  (n-1)n(n+1) l&agrave; 3 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp         &rArr; $ exists$ một thừa số chia hết cho 2 (  &forall;    n    &isin;    N)         &rArr; (n-1)n(n+1) $ vdots$ 2(  &forall;    n    &isin;    N)         &rArr; 5(n-1)n(n+1) $ vdots$ 10  (  &forall;    n    &isin;    N)    (2)          (1)(2) &rArr; ( n - 2)(n-1)n( n+1)(n+2)+ 5(n-1)n(n+1) $ vdots$ 10  (  &forall;    n    &isin;    N)         hay  n^5 - n  $ vdots$ 10  (  &forall;    n    &isin;    N)         &rArr;  n^5 - n c&oacute; chữ số tận c&ugrave;ng l&agrave; 0 (  &forall;    n    &isin;    N)          &rArr; n^5 v&agrave; n  c&oacute; chữ số tận c&ugrave;ng giống nhau .(  &forall;    n    &isin;    N)

dananhnhu2k4 · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:   X&eacute;t n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2+1)(n-1)(n+1)   =n(n&sup2;-4)(n-1)(n+1)+5n(n-1)(n+1)   = n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)+5n(n-1)(n+1)   Thấy n;n-2;n+2;n-1;n+1 l&agrave; 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp    &rArr; Chia hết cho 10   Tương tự &rArr; 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 10   &hArr; n^5-n chia hết cho 10   &hArr; n^5 v&agrave; n c&oacute; c&ugrave;ng chữ số tận c&ugrave;ng