Toán Lớp 8: CM các bđt a^4 + b^4 lớn hơn hoặc bằng a^3b+ab^3

Question

Toán Lớp 8:  CM các bđt a^4 + b^4 lớn hơn hoặc bằng a^3b+ab^3

dantam45 · Answer

a^4 +b^4 >= ab^3 +a^3 b (1)
<=> 4a^4 +4b^4 – 4ab(a^2 +b^2) >= 0
<=> [(a^2 +b^2 )^2 – 4ab(a^2 +a^2) +4a^2 b^2 ] +3a^4 +3b^4 -6a^2 b^2 >=0
<=> (a -b )^4 +3(a^4 + b^4 -2a^2 b^2 ) >= 0 (2)
cos (a-b )^4 >= 0
a^4 + b^4 >= 2a^2 b^2 (co si có thể không cần co si cũng được )
=> (2) đúng => (1) đúng => dpcm

phuongthaongoc · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:   #$hyn$   $a^4+b^4-a^3b-ab^3$   $=a^3.(a-b)-b^3.(a-b)$   $=(a-b).(a^3-b^3)$   $=(a-b)^2.(a^2+ab+b^2)$   M&agrave; ta c&oacute;:   $ left  { {{(a-b)^2 geq0 với mọi a,b }  atop {a^2+ab+b^2=(a+ frac{1}{2}b)^2+ frac{3}{4}b^2 geq0 với mọi a,b}}  right.$   $&hArr;(a-b)^2.(a^2+ab+b^2)$ $ geq0$   $&hArr;a^4+b^4-a^3b-ab^3$ $ geq0$   $&hArr;a^4+b^4$ $ geq$ $a^3b+ab^3$   Dấu $=$ xảy ra khi: $a=b$