Toán Lớp 8: chung minh rang neu ( a + b + c ) ² = 3(ab + bc+ca ) thi a= b = c

Question

Toán Lớp 8:  chung minh rang  neu ( a + b + c )  ² = 3(ab + bc+ca ) thi  a= b = c

huyenmi76 · Answer

$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)  &harr;a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3bc+3ca  &harr;a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac$   Ta có: $(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 ge 0$   $&harr;a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 ge 0  &harr;2(a^2+b^2+c^2) ge 2(ab+ac+bc)  &harr;a^2+b^2+c^2 ge ab+ac+bc$   $&rarr;$ D&acirc;́u '=' xảy ra khi $ begin{cases}a-b=0  a-c=0  b-c=0 end{cases}$   $&harr; begin{cases}a=b  a=c  b=c end{cases}&harr;a=b=c$   V&acirc;̣y $(a+b+c)^2=3(ab+ac+ca)$ khi $a=b=c$

thanoanghha · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)

=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca

=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-3ab-3bc-3ca=0

=>a^2+b^2+c^2+(2ab-3ab)+(2bc-3bc)+(2ca-3ca)=0

=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

=>2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=2.0

=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0

=>a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2bc-2ca=0

=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

Vì (a-b)^2\geq0

(b-c)^2\geq0

(c-a)^2\geq0

=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 khi:
{((a-b)^2=0),((b-c)^2=0),((c-a)^2=0):}
<=>{(a-b=0),(b-c=0),(c-a=0):}
<=>{(a=b),(b=c),(c=a):}
<=> a=b=c

Vậy nếu (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca) thì a=b=c