Toán Lớp 8: Chứng minh rằng nếu $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.

Question

Toán Lớp 8:  Chứng minh rằng nếu  $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3}$ = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.

maianhnhiquynh · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   &Aacute;p dụng Bất đẳng thức Co-si với 3 số a,b,c dương ta c&oacute;:   a&sup3;+b&sup3;+c&sup3;&ge;3$ sqrt[]{a^3b^3c^3}$ =3abc   Dấu = xảy ra khi a=b=c   Vậy nếu a&sup3;+b&sup3;+c&sup3;=3abc th&igrave; a=b=c

hienthucthu97 · Answer

$ begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc     Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0     Leftrightarrow { left( {a + b}  right)^3} - 3ab left( {a + b}  right) + {c^3} - 3abc = 0     Leftrightarrow { left( {a + b + c}  right)^3} - 3 left( {a + b}  right)c left( {a + b + c}  right) - 3ab left( {a + b + c}  right) = 0     Leftrightarrow  left( {a + b + c}  right) left[ {{{ left( {a + b + c}  right)}^2} - 3 left( {a + b}  right)c - 3ab}  right] = 0     Leftrightarrow  left( {a + b + c}  right) left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca}  right) = 0     Leftrightarrow  dfrac{1}{2} left( {a + b + c}  right) left[ {{{ left( {a - b}  right)}^2} + {{ left( {b - c}  right)}^2} + {{ left( {c - a}  right)}^2}}  right] = 0  end{array}$   V&igrave; $a,b,c$ dương n&ecirc;n $a+b+c ne 0$. Vậy $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$. Khi đ&oacute; $a=b=c$