Toán Lớp 8: Chứng minh rằng a^3+b^3-c^3=3abc và a,b,c là các số dương thì a=b=c

Question

Toán Lớp 8:  Chứng minh rằng a^3+b^3-c^3=3abc và a,b,c là các số dương thì a=b=c

dantam45 · Answer

$  $   $a^3+b^3+c^3=3abc  &hArr;(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0  &hArr; (a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0  &hArr; (a+b+c) (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$   Do $a,b,c$ l&agrave; c&aacute;c số dương n&ecirc;n $a+b+c>0$   $&hArr; a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0  &hArr;2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0  &hArr;(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$   Do $(a-b)^2 ge0, (b-c)^2 ge0, (c-a)^2 ge 0 (&forall;a,b,c)$   $&hArr; (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ge0 (&forall;a,b,c)$   Dấu '$=$' xảy ra khi :   $(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0  &hArr; a=b=c$

phuongthaongoc · Answer

Ta c&oacute; : a^3+b^3+c^3=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3.a.b.c=3.a.b.c                                =(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0   Ta thấy:a,b,c l&agrave; số dương n&ecirc;n a+b+c kh&aacute;c 0 suy ra (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c) =0 n&ecirc;n a=b=c   Vậy a=b=c