Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho x,y,z thuộc Z và P=(x+2012)^5+(2y-2013)^5+(3z+2014)^5 S=x+2y+3z+2013 CMR P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S=30

Tháng Chín 12, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 8: Cho x,y,z thuộc Z và
P=(x+2012)^5+(2y-2013)^5+(3z+2014)^5
S=x+2y+3z+2013
CMR P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S=30

Comments ( 1 )

  1. hothaibinh
    hothaibinh
    12 Tháng Chín, 2022 at 10:06 chiều
    Reply
    $\\$
    Để đơn giản ta đặt :
    x+2012=a, 2y-2013=b, 3z+2014=c
    ->a+b+c=x+2012+2y-2013+ 3z+2014
    ->a+b+c=x+2y+3z+2013
    -> a+b+c=S
    P=a^5+b^5+c^5
    Xét hiệu S-P
    = a^5+b^5+c^5-a-b-c
    =(a^5-a)+(b^5-b) + (c^5-c)
    a^5-a
    = a(a^4-1)
    =a(a^2-1)(a^2+1)
    =a(a-1)(a+1) (a^2-4+5)
    =a(a-1)(a+1) (a^2-4) + 5 a (a-1)(a+1)
    =a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) +5a(a-1)(a+1)
    Do a,a-1,a+1,a-2,a+2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên có ít nhất 1 trong 5 số \vdots 2,3,5
    ->a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots (2.3.5)
    ->a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots 30
    Do a, a-1,a+1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên sẽ có ít nhất 1 trong 3 số \vdots 2,3
    -> a(a-1)(a+1)\vdots (2.3)
    -> 5 (a-1)a(a+1)\vdots 30
    Do đó : a^5-a\vdots 30
    Hoàn toàng tương tự có :
    b^5-b\vdots 30
    c^5-c\vdots 30
    -> P-S\vdots 30
    Mà S\vdots 30
    ->P\vdots 30

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Chi Mai

About Chi Mai