Toán Lớp 8: Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = (x + y + z)( 1/x + 1/y + 1/z ) giải giúp đi nhớ các bước dầy đủ

Question

Toán Lớp 8:  Cho x, y, z là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: P = (x + y + z)( 1/x + 1/y + 1/z ) giải giúp đi nhớ các bước dầy đủ

lanngocha · Answer

P=(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)

=1 +x/y + x/z + y/x + 1 + y/z + z/x +z/y + 1

=3 + (x/y+y/x) + (x/z+z/x) + (y/z+z/y)

Áp dụng BĐT Cô-si ta được :

x/y+y/x\ge 2\sqrt{x/y . y/x}=2

Tương tự :

x/z+z/x\ge 2

y/z+z/y\ge 2

->P>= 3+2+2+2=9

Dấu “=” xảy ra khi : x=y=z

Vậy min P=9<=>x=y=z

daithanh · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

P = {x + y + z}$\begin{cases}\dfrac{1}{x}\end{cases}$ + $\dfrac{1}{y}$ + $\left.\begin{matrix} \dfrac{1}{z} \end{matrix}\right\}$

P = 1 + $\dfrac{x}{y}$ + $\dfrac{x}{z}$ + $\dfrac{y}{x}$ + 1 + $\dfrac{y}{z}$ + $\dfrac{z}{x}$ + $\dfrac{z}{y}$ + 1

P = 3 + $\begin{cases} \dfrac{x}{y} \end{cases}$ + $\left.\begin{matrix} \dfrac{y}{x}\end{matrix}\right\}$ + $\begin{cases} \dfrac{x}{z} \end{cases}$ + $\left.\begin{matrix} \dfrac{z}{x}\end{matrix}\right\}$ + $\begin{cases} \dfrac{y}{z} \end{cases}$ + $\left.\begin{matrix} \dfrac{z}{y}\end{matrix}\right\}$

Mà $\begin{cases} \dfrac{x}{y} \end{cases}$ + $\left.\begin{matrix} \dfrac{y}{x}\end{matrix}\right\}$ $\ge$ 2 với mọi số dương x và y

$\Rightarrow$ P = 3 + 2 + 2 + 2 = 9

$\Rightarrow$ giá trị nhỏ nhất của P là 9 khi x = y = z

۶ƙ¡ทջℳα₷Շℯℛ๖ۣۜ