Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho x, y >0 và thỏa mãn x+y=2. Chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ $\leq$ 2

Home/ Toán Lớp 8: Cho x, y >0 và thỏa mãn x+y=2. Chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ $\leq$ 2

Toán Lớp 8: Cho x, y >0 và thỏa mãn x+y=2. Chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ $\leq$ 2

Tháng Chín 16, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Cho x, y >0 và thỏa mãn x+y=2. Chứng minh $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ $\leq$ 2

Comments ( 2 )

  1. kymmailien
    kymmailien
    16 Tháng Chín, 2022 at 3:45 sáng
    Reply
    Ta có x+y=2=> (x + y)^² = 4
    => x^² + 2xy + y^² = 4
    => x^² + y^² = 4 – 2xy
    => x^²y^²(x^² + y^²) = x^²y^².(4 – 2xy)
    Giả sử x^2y^2(x^2+y^2)<=2
    =>x^2y^2(4-2xy)<=2
    <=>x^2y^2(2-xy)<=1
    <=>2x^2y^2=x^3y^3<=1
    <=> x^³y^³ – 2x^²y^² + 1 ≥ 0
    <=> (xy – 1).(x^²y^² – xy – 1) ≥ 0
    <=> (xy – 1).[ xy(xy – 1) – 1 ] ≥ 0
    Có 2 = x + y ≥ 2sqrt(xy) (Theo BĐT Côsi)
    => xy ≤ 1
    => xy – 1 ≤ 0
    xy > 0
    => xy(xy – 1) ≤ 0
    => xy(xy – 1) – 1 ≤ -1 
    => (xy – 1).[ xy(xy – 1) – 1 ] ≥ 0
    => Luôn đúng do tích của 2 số âm thì luôn ≥ 0 
    Dấu ‘=’ khi $:\begin{cases}x=y\\x+y=2\end{cases}$=>x=y=1

  2. dongoclandiem
    dongoclandiem
    16 Tháng Chín, 2022 at 3:45 sáng
    Reply
    Ta đã chứng minh được : $x^{2}$ $y^{2}$ ($x^{2}$ +$y^{2}$ )$\leq$ 2
    Mặt khác theo bất đẳng  thức Cauchy thì xy$\leq$ $\frac{(x+y)^2}{4}$ =1
    Nhân hai bất đẳng thức trên lại theo hai vế , ta thu được điều phải chứng minh

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Kim Xuân

About Kim Xuân