Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AD, gọi E là trung điểm của AB, M là điểm đối xứng với D qua E, N là điểm đối xứng của D qua AC
a. Chứng minh tứ giác AMDC là hình bình hành? b.Tứ giác AMBD là hình gì? Vì sao?
c. Biết AB = 3 cm, AD = 2,5 cm. Tính diện tích tam giác ABC
d. C/M các điểm M, A, N thẳng hàng.
e. DABC có thêm điều kiện gì để AMBD là hình vuông
Leave a reply
Comments ( 1 )
Giải đáp:
a) Tứ giác AMDC là hình bình hành
b) Tứ giác AMBD là hình thoi
c) $S_{\triangle ABC}=6cm^2$
d) M, A, N thẳng hàng
e) Để AMBD là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
Lời giải và giải thích chi tiết:
a)
Xét $\triangle ABC$:
$DE//AC\,\,\,(\bot AB)$
D là trung điểm của BC (gt)
$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to$ E là trung điểm của AB
$\to DE=\dfrac{1}{2}AC$
$\to DM=2DE=AC$
Xét tứ giác AMDC:
$DM//AC\,\,\,(DE//AC)$
$DM=AC$ (cmt)
$\to$ Tứ giác AMDC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)
b)
Ta có:
$DE//AC, AB\bot AC\to DE\bot AB\\\to DM\bot AB$
Xét tứ giác AMBD:
E là trung điểm của AB (gt)
E là trung điểm của DM (gt)
$\to$ Tứ giác AMBD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà $DM\bot AB$ (cmt)
$\to$ Tứ giác AMBD là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
c)
$\triangle ABC$ vuông tại A, đường trung tuyến AD
$\to AD=BD=DC=\dfrac{BC}{2}\\\to BC=2AD=5(cm)$
Ta có:
$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)
$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$
$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.3.4=6(cm^2)$
d)
Gọi F là giao điểm của DN và AC
N đối xứng với D qua AC (gt)
$\to$ F là trung điểm của DN, $AC\bot DN$ tại F
Xét $\triangle ABC$:
$DF//AB\,\,\,(\bot AC)$
D là trung điểm của BC (gt)
$\to$ DF là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to$ F là trung điểm của AC
Xét tứ giác ADCN:
F là trung điểm của DN (gt)
F là trung điểm của AC (cmt)
$\to$ Tứ giác ADCN là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà $DN\bot AC$ (cmt)
$\to$ Tứ giác ADCN là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
$\to AN//DC\to AN//BC$ (1)
Lại có: Tứ giác AMDC là hình bình hành (cmt)
$\to AM//DC\to AM//BC$ (2)
Từ (1), (2) $\to$ M, A, N thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)
e)
Tứ giác AMBD là hình thoi (cmt)
$\to$ Để tứ giác AMBD là hình vuông
$\to AD\bot DB\to AD\bot BC$
$\to$ AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\triangle ABC$
$\to\triangle ABC$ cân tại A
$\to$ Để AMBD là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A