Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Trên AC lấy M vẽ ME vuông góc AB tại E , MF vuông góc BC tại F . a) Lấy D đối xứng với B qua AC . Chứ

Question

Toán Lớp 8:  Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Trên AC lấy M vẽ ME vuông góc AB tại E , MF vuông góc BC tại F . a) Lấy D đối xứng với B qua AC . Chứng minh : tứ giác ABCD là hình vuông b)chứng minh DE vuông góc AF c) chứng minh : tam giác ADE = tam giác BAF

khanhngantoan · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   a) Gọi I l&agrave; giao điểm của BC v&agrave; AC   Do B v&agrave; D đối xứng nhau qua AC n&ecirc;n ta c&oacute; BD vu&ocirc;ng g&oacute;c với AC v&agrave; BI = ID   Tam gi&aacute;c BCD c&oacute; CI vừa l&agrave; đường cao cao vừa l&agrave; đường trung tuyến l&ecirc;n tam gi&aacute;c BCD c&acirc;n tại C -->BC = CD (1)   Tam gi&aacute;c ABD c&oacute; AI vừa l&agrave; đường cao vừa l&agrave; đường trung tuyến n&ecirc;n tam gi&aacute;c ABD c&acirc;n tại A -->AB = AD (2)   Tam gi&aacute;c ABC c&acirc;n tại B n&ecirc;n BC = BA (3)   Từ (1),(2),(3) suy ra BC = CD = AD   Suy ra ABCD l&agrave; h&igrave;nh thoi    M&agrave; BD vu&ocirc;ng tại g&oacute;c AC n&ecirc;n ABCD l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng (do h&igrave;nh thoi c&oacute; hai đường ch&eacute;o vu&ocirc;ng g&oacute;c sẽ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng)   b) V&igrave; FM v&agrave; AB c&ugrave;ng vu&ocirc;ng g&oacute;c với BC n&ecirc;n AB||FM   Do đ&oacute; g&oacute;c FMC = g&oacute;c BAC   M&agrave; g&oacute;c BAC = g&oacute;c FCM (do tam gi&aacute;c ABC c&acirc;n tại B)    Suy ra g&oacute;c FCM = g&oacute;c FMC   Suy ra tam gi&aacute;c FCM c&acirc;n tại F   Do đ&oacute; FM = g&oacute;c FC (4)   Tứ gi&aacute;c BEMF c&oacute; BFM = FBE = MEB = 90 độ   Suy ra BEMF l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật    Do đ&oacute; FM = BE (5)   Từ (4),(5) suy ra FC = BE   Tam gi&aacute;c AFC v&agrave; tam gi&aacute;c DEB c&oacute; AC = BD (do ABCD l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng)    G&oacute;c DBE = g&oacute;c FCA (= 45 độ)    CF = BE   Do đ&oacute; tam gi&aacute;c AFC = tam gi&aacute;c DEB (c. c. c)    Suy ra g&oacute;c IDM = g&oacute;c KMA (gọi K l&agrave; giao điểm của DE v&agrave; AF)    Ya c&oacute; g&oacute;c IMD = KMA (đối đỉnh)    M&agrave; IMD + IDM =90 độ (do tam gi&aacute;c IDM vu&ocirc;ng tại I)    N&ecirc;n ta được KMA + KAM = 90 --> g&oacute;c MKA = 90 độ --> AF vu&ocirc;ng g&oacute;c với DE   c) Hai tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng ADE v&agrave; BAF c&oacute; :   ED = AF (do hai tam gi&aacute;c AFC v&agrave; DEB bằng nhau)    AD = BA   Do đ&oacute; tam gi&aacute;c ADE = tam gi&aacute;c BAF (cạnh huyền - cạnh g&oacute;c vu&ocirc;ng)