Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với

Question

Toán Lớp 8:  Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

tongtung · Answer

* Tam gi&aacute;c ABC c&oacute; hai đường trung tuyến BM v&agrave; CN cắt nhau tại G   Suy ra: G l&agrave; trọng t&acirc;m của &Delta;ABC .   &rArr; GB = 2GM (t&iacute;nh chất đường trung tuyến)   GC = 2GN (t&iacute;nh chất đường trung tuyến)   Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M   &rArr; MG = MD hay GD = 2GM   Suy ra: GB = GD (l)   Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N   &rArr; NG = NE hay GE = 2GN   Suy ra: GC = GE (2)   Từ (1) v&agrave; (2) suy ra tứ gi&aacute;c BCDE l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh (v&igrave; c&oacute; hai đường ch&eacute;o cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)   X&eacute;t &Delta;BCM v&agrave; &Delta;CBN, c&oacute;: BC cạnh chung   &ang;(BCM) = &ang;(CBN) (t&iacute;nh chất tam gi&aacute;c c&acirc;n)   CM = BN (v&igrave; AB = AC)   Suy ra: &Delta;BCM = &Delta;CBN (c.g.c)   &rArr; &ang;(MBC) = &ang;(NCB) &rArr; &Delta;GBC c&acirc;n tại G &rArr; GB = GC &rArr; BD = CE   H&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh BCDE c&oacute; hai đường ch&eacute;o bằng nhau n&ecirc;n n&oacute; l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật.

aivilanlan · Answer

~ gửi bạn ~   --   &bull;&Delta;  ABC c&oacute; 2 đường trung tuyến BM v&agrave; CN cắt nhau tại G   => G l&agrave; trọng t&acirc;m của &Delta;ABC   &rArr; GB = 2.GM (t&iacute;nh chất đường trung tuyến)   GC = 2.GN (t&iacute;nh chất đường trung tuyến)   &bull; Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M   &rArr; MG = MD hay GD = 2.GM   => GB = GD (1)   &bull; Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N   &rArr; NG = NE hay GE = 2.GN   => GC = GE (2)   (1) (2) -> tứ gi&aacute;c BCDE l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh (v&igrave; c&oacute; 2 đường ch&eacute;o cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)   X&eacute;t &Delta;BCM v&agrave; &Delta;CBN, c&oacute;:   BC -  cạnh chung   hat(BCM) = hat(CBN) (t&iacute;nh chất &Delta; c&acirc;n)   CM = BN (AB = AC)   => &Delta;BCM = &Delta;CBN (c.g.c)   &rArr; hat(MBC) = hat(NCB) (2 g&oacute;c tương ứng )   &rArr; &Delta;GBC c&acirc;n tại G   &rArr; GB = GC &rArr; BD = CE   &bull; H&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh BCDE c&oacute; 2 đường ch&eacute;o bằng nhau   => BCDE l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật.