Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho hình vuông `ABCD` . Từ điểm `M` tùy ý trên đường chéo `BD` . Kẻ `ME , MF` lần lượt vuông góc với `AB ; AD` . CMR: `a, CF = DE ; CF

Tháng Chín 9, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD . Từ điểm M tùy ý trên đường chéo BD . Kẻ ME , MF lần lượt vuông góc với AB ; AD . CMR:
a, CF = DE ; CF ⊥ DE
b, CM = EF ; CM ⊥ EF
c, CM , BF , DE đồng quy
d, Xác định M để diện tích AEMF lớn nhất
Có vẽ hình nha

Comments ( 2 )

  1. phuongthaongoc
    phuongthaongoc
    9 Tháng Chín, 2022 at 10:23 sáng
    Reply
    Gửi ông :
    $a,$ Dễ chứng minh được: $AEMF$ là hình chữ nhật
    $⇒$ $\widehat{EMF}=90^o$
    $⇒$ $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$
    Vì: $BD$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$
    $⇒$ $BD$ là đường phân giác hình vuông $ABCD$
    $⇒$ $\widehat{FDM}=\widehat{EBM}=45^o$
    $⇒$ $\widehat{EMB}=90^o-\widehat{EBM}=45^o$
    Mà: $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$
    $⇒$ $\widehat{FMD}=\widehat{FDM}=45^o$
    $⇒$ $ΔFMD$ vuông cân tại $F$
    $⇒$ $FM=DF=AE$
    $⇒$ $ΔDAE=ΔCDF(cgv-cgv)$
    $⇒$ $CF=DE$
     Vì $ΔDAE=ΔCDF$
    $⇒$ $\widehat{AED}=\widehat{CFD}$
    $\widehat{ADE}=\widehat{FCD}$
    Gọi $DE∩CF=G$
    Xét $ΔFGD$ có:
    $\widehat{FGD}+\widehat{FDG}+\widehat{DFG}=180^o$
    $⇒\widehat{FGD}+\widehat{ADE}+\widehat{AED}=180^o$
    $⇒\widehat{FGD}+90^o=180^o$
    $⇒$ $\widehat{FGD}=90^o$
    $⇒$ $CF⊥DE$
    $b,c$ Xét $ΔADM$ và $ΔCDM$ có:
    $AD=CD$
    $DM$ chung
    $\widehat{ADM}=\widehat{CDM}=45^o$
    $⇒$ $ΔADM=ΔCDM(c-g-c)$
    Mà: $AEMF$ là hình chữ nhật.
    $⇒$ $CM=AM=EF$
    Gọi $K$ là giao điểm của $MF$ và $BC$
    Ta có: $CK=DF$ ($DFKC$ là hình chữ nhật)
    $⇒$ $CK=FM$ ($ΔFMD$ vuông cân tại $F→FD=FM$)
    $CMTT:$ $KM=ME$
    $⇒$ $ΔCKM=ΔFME$ $(c.c.c)$
    $⇒$ $\widehat{KCM}=\widehat{MFE}$
    $⇒$ $CM⊥EF$ ( Cái này dễ lắm, trình ông làm đc thoi ._.)
    $CMTT$ ta được: $BF⊥CE$
    Xét $ΔCEF$ có:
    $CM,DE,BF$ là các đường cao
    $⇒$ $CM,DE,BF$ đồng quy tại tại một điểm là trực tâm $ΔCEF$
    $⇒$ $ĐPCM$
    $d,$ Ta có: 
    $⇒$ $AE+EM=AE+EB=AB$ (không đổi)
    $⇒$ $(AE-EM)^2≥0$
    $⇒$ $AE^2-2AE.EM+EM^2≥0$
    $⇒$ $AE^2+EM^2≥2AE.EM$
    $⇒$ $AE^2+2AE.EM-2AE.EM+EM^2≥2AE.EM$
    $⇒$ $(AE+EM)^2≥4AE.EM$
     $⇒$ $[\dfrac{(AE+EM)}{2}]^2≥AE.EM$
    $⇒$  $\dfrac{AB^2}{4}≥S_{AEMF}$
    Vậy $Max_{S_{AEMF}}$  khi $AE = EM$ $⇒$ $M$ là giao điểm của $BD,AC$ của hình vuông $ABCD$
    $—$
    $NL:$ Bởi khả năng đánh máy tính chậm như gà rù mà sau hơn 50p cuối cùng tôi cũng đã giải xong ._.

    toan-lop-8-cho-hinh-vuong-abcd-tu-diem-m-tuy-y-tren-duong-cheo-bd-ke-me-mf-lan-luot-vuong-goc-vo

  2. maianhnhiquynh
    maianhnhiquynh
    9 Tháng Chín, 2022 at 10:23 sáng
    Reply
    $\\$
    a.
    Gọi I=DE∩CF
    hat{FDM}=1/2hat{ADC}=1/2 . 90^o = 45^o
    (hat{ADC}=90^o do ADC là hình vuông và DB là phân giác hat{ADC})
    hat{FDM}+hat{FMD}=90^o
    ->hat{FMD}=90^o-hat{FDM}=90^o-45^o=45^o
    ->hat{FDM}=hat{FMD}
    ->\triangle DFM cân tại F
    ->DF=FM mà FM=AE (Do AFME là hình chữ nhật)
    -> AE=DF
    \triangle ADE và \triangle DCF có :
    AD=DC (Do ABCD là hình vuông)
    hat{FDC}=hat{EAD}=90^o (Do ABCD là hình vuông)
    AE=DF 
    ->\triangle ADE=\triangle DCF (cạnh – góc – cạnh)
    -> CF=DE và hat{ADE}=hat{DCF}
    hat{DCF}+hat{DFC}=90^o
    ->hat{DCI}+hat{DFI}=90^o
    ->hat{FDI}+hat{DFI}=90^o
    ->hat{DIF}=90^o
    ->CF\bot DE
    b,
    Gọi H=BC∩MF, V=CM∩EF
    $AE//FM$ (Do AEMF là hình chữ nhật)
    Hay $MH//AB$ mà AB\bot BC (Do ABCD là hình vuông)
    -> $MH\bot BC$ hay MH\bot BH, MH\bot CH
    Dễ dàng chứng minh BEMH là hình chữ nhật
    ->ME=MH
    Dễ dàng chứng minh DFHC là hình chữ nhật
    -> DF=CH mà DF=AE (Do \triangle ADE=\triangle DCF)
    -> AE=CH mà AE=FM (Do AEMF là hình chữ nhật)
    -> CH=FM
    \triangle EMF và \triangle MHC có :
    CH=FM 
    MH=ME
    hat{EMF}=hat{MHC}=90^o
    ->\triangle EMF=\triangle MHC (cạnh – góc – cạnh)
    -> CM=EF và hat{EFM}=hat{MCH}
    hat{CMH}+hat{MCH}=90^o
    ->hat{VFM}+hat{VMF}=90^o
    ->hat{FVM}=90^o
    -> CM\bot EF
    c,
    Chứng minh tương tự ta được : BF\bot EC
    \triangle EFC có : 
    BF là đường cao
    DE là đường cao
    CM là đường cao
    ->BF,DE,CM đồng quy tại trực tâm của \triangle EFC
    d,
    Đặt AE=a, ME=b
    -> a,b>0
    Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương a,b ta được :
    a+b\ge 2\sqrt{ab}
    -> (a+b)^2\ge 4ab
    -> ab\le (a+b)^2/4
    S_{AEMF}=ab\le (a+b)^2/4
    -> S_{AEMF}\le (AE+ME)^2/4
    Dấu “=” xảy ra khi : a=b↔ AE=MF
    -> AEMF là hình vuông
    ->AM là tia phân giác hat{DAB} mà AC là tia phân giác hat{DAB}
    -> AC đi qua M mà BD đi qua M
    -> M=AC∩ BD
    Vậy M=AC∩BD để S_{AEMF} nhỏ nhất
     

    toan-lop-8-cho-hinh-vuong-abcd-tu-diem-m-tuy-y-tren-duong-cheo-bd-ke-me-mf-lan-luot-vuong-goc-vo

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Hiểu Vân

About Hiểu Vân