Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.
a) Chứng minh: DE vuông góc CF, EF=CM
b) Chứng minh: 3 đường thẳng DE, BF, CM đồng quy;
c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Leave a reply
Comments ( 1 )
Hướng dẫn chứng minh như sau :
a,
hat{B_1}=45^o->hat{EMB}=45^o
->hat{B_1}=hat{EMB}=45^o
Chứng minh được AEMF là hình chữ nhật
->AM=EF, hat{EMF}=90^o, AE=FM, AF=EM
hat{EMB}+hat{EMF}+hat{FMD}=180^o
->hat{FMD}=45^o mà hat{D_1}=45^o
->hat{FMD}=hat{D_1}=45^o
->\triangle DFM vuông cân tại F-> FM=DF=AE
Xét \triangle ADE và \triangle DCF có :
AD=DC, AE= DF,hat{DAE}=hat{FDC}=90^o
->\triangle ADE=\triangle DCF (c.g.c)
->hat{ADE}=hat{C_1}
hat{ADE}+hat{EDC}=90^o->hat{EDC}+hat{C_1}=90^o
-> DE\bot CF
Khá dễ dàng chứng minh được \triangle ABM=\triangle CBM (c.g.c)
-> AM=CM mà AM=EF
->EF=CM
b,
Chứng minh tương tự như câu a :
CM\bot EF,BF\bot CE
\triangle FEC có : CM, BF, DE là đường cao
->CM,BF, DE đồng quy tại trực tâm của \triangle FEC
c,
Đặt AE=x, AF=y
-> BE=AF=y
->x,y>0
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x,y ta được :
x+y>= 2\sqrt{xy}
->(x+y)^2>=4xy
-> xy \le (x+y)^2/4
-> AE . ME\le (AE + BE)^2/4=(AB^2)/4
-> (max)S_{AEMF}\le (AB^2)/4
Dấu “=” xảy ra khi : AE=EM
->AEMF là hình vuông
->AM là phân giác hat{DAB} mà AC là phân giác hat{DAB}
->AC đi qua M và BD đi qua M
->AC,BD cắt nhau tại M
->M là tâm hình vuông ABCD
Vậy (max)S_{AEMF}\=(AB^2)/4<=>M là tâm hình vuông ABCD