Toán Lớp 8: Cho đa thức p(x) có hệ số nguyên p(x) thỏa mãn p(2020) = 1,p(2021) = 3. Chứng minh p(x) không có nghiệm nguyên.

Question

Toán Lớp 8:  Cho đa thức p(x) có hệ số nguyên p(x) thỏa mãn p(2020) = 1,p(2021) = 3. Chứng minh p(x) không có nghiệm nguyên.

khanhngantoan · Answer

Nếu  p(x) c&oacute; nghiệm nguy&ecirc;n l&agrave; a.      -> p(x) chia hết cho x &minus; a      v&agrave; p(x) = (x &minus; a)q(x) với q(x) l&agrave; đa thức với hệ số nguy&ecirc;n.      Cho x = 2020 v&agrave; x = 2021 ta được   p(2020) = 1   p(2021) = 3   -> 2020 &minus; a, 2021 &minus; a đều l&agrave; số lẻ. (v&ocirc; l&yacute;)   Vậy p(x) kh&ocirc;ng c&oacute; nghiệm nguy&ecirc;n.

mocmien87 · Answer

Giả sử ngược lại p(x) c&oacute; nghiệm nguy&ecirc;n l&agrave; a. Khi đ&oacute; p(x) chia hết cho x &minus; a v&agrave; ta viết p(x) = (x &minus; a)q(x) với q(x) l&agrave; đa thức với hệ số nguy&ecirc;n. Cho x = 2020 v&agrave; x = 2021 ta được p(2020) = (2020 &minus; a)q(2020) = 1 p(2021) = (2021 &minus; a)q(2021) = 3 Vậy 2020 &minus; a, 2021 &minus; a đều l&agrave; số lẻ. Điều n&agrave;y kh&ocirc;ng xảy ra. Vậy p(x) kh&ocirc;ng c&oacute; nghiệm nguy&ecirc;n.