Toán Lớp 8: cho các số nguyên x,y,z biết x+y+z=18 C/Minh rằng x^3+y^3+z^3-3xyz là tổng của 3 số chính phương

Question

Toán Lớp 8:  cho các số nguyên x,y,z biết x+y+z=18 C/Minh rằng x^3+y^3+z^3-3xyz là tổng của 3 số chính phương

maitrucloan · Answer

Giải đáp:     Ta c&oacute;:   $x^3+y^3+z^3-3xyz$   $=(x+y)^3-3xy.(x+y)+z^3-3xyz$   $=(x+y)^3+z^3 -3xy.(x+y+z)$   $=(x+y+z)^3-3.(x+y).z.(x+y+z) -3xy.(x+y+z)$   $=(x+y+z).[(x+y+z)^2-3(x+y)z-3xy]$   $=18.[(x+y+z)^2-3.(x+y).z-3xy]$   $=18.(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$   $=9.(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx)$   $=9.[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]$   $=9.(x-y)^2+9.(y-z)^2+9.(z-x)^2$   $=[3 cdot (x-y)]^2+[3 cdot (y-z)]^2+[3 cdot (z-x)]^2$   $ to x^3+y^3+z^3-3xyz$ l&agrave; tổng của $3$ số ch&iacute;nh phương    ∘ dariana

ngoclanhoa · Answer

$  $   x^3+y^3+z^3-3xyz   =(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz   =(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)   =(x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy-yz-xz)   = 18 (x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)   = 9 . 2 (x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)   =9(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz)   =9 [(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)]   =9[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]   = 9 (x-y)^2+9(y-z)^2+9(x-z)^2   =3^2(x-y)^2+3^2(y-z)^2+3^2(x-z)^2   =(3x-3y)^2+(3y-3z)^2+(3x-3z)^2   => đpcm