Toán Lớp 8: cho ab+bc+ca=5. tìm GTNN của 3a^2+3b^2+c^2

Question

Toán Lớp 8:  cho ab+bc+ca=5. tìm GTNN của 3a^2+3b^2+c^2

cobebongdem · Answer

$  $   Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau :   $a^2+b^2+c^2&ge;ab+bc+ca  &hArr; 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca&ge;0  &hArr; (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2&ge;0$   Dấu '$=$' xảy ra khi :   $(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(c-a)^2=0  &hArr;a=b=c$   Đặt $A=3a^2+3b^2+3c^2$   $&rArr; A=3(a^2+b^2+c^2)$   $&rArr; A &ge; 3 (ab+bc+ca)  &rArr;A&ge;3.5  &rArr; A&ge;15$   Dấu '$=$' xảy ra khi :   $a=b=c$   M&agrave; $ab+bc+ca=5$   $&hArr; a=b=c=&plusmn; sqrt{ dfrac{5}{3}}$   Vậy $A_{min}=15&hArr;a=b=c=&plusmn; sqrt{ dfrac{5}{3}}$

dongoctuan · Answer

Giải đáp:    -10   Lời giải và giải thích chi tiết:   3a^2 + 3b^2 + c^2   = 2a^2 + 2b^2 + a^2 + b^2 + c^2   C&oacute; HĐT a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)   = 2(a^2 + b^2) + (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)   M&agrave; ab + bc + ca = 5   = 2(a^2+b^2) + (a+b+c)^2 - 10   C&oacute; a^2 >= 0; b^2>= 0; (a+b+c)^2>=0   => Đạt min khi a = 0; b = 0; a+b+c = 0 => c = 0   Vậy GTNN l&agrave; 2*0 + 0^2 - 10 = -10 tại a=b=c=0