Toán Lớp 8: Cho a,b thuộc N*. Chứng minh nếu (16a+17b)(17a+16b) chia hết 11 thì tích đó chia hết 121

Question

Toán Lớp 8:  Cho a,b thuộc N*. Chứng minh nếu (16a+17b)(17a+16b) chia hết 11 thì tích đó chia hết 121

quynhthanhnghi · Answer

11 là số nguyên tố, (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 => có ít nhất một thừa số chia hết cho 11, không giãm tính tính tổng quát, giả sử (16a+17b) chia hết cho 11
ta cm (17a+16b) cũng chia hết cho 11, thật vậy:
16a + 17b chia hết cho 11 => 2(16a + 17b) chia hết cho 11
=> 33(a+b) + b -a chia hết cho 11 => b-a chia hết cho 11
=> a-b chia hết cho 11

Ta có: 2(17a+16b) = 33(a+b) + a-b chia hết cho 11
do 2 và 11 là hai số nguyên tố => 17a+16b chia hết cho 11

Vậy (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.11 = 121 = 11^2 là scp => đpcm

diepbich93 · Answer

$  $   (16a+17b)(17a+16b) vdots 11   Do 11 l&agrave; số nguy&ecirc;n tố n&ecirc;n 1 trong 2 số sẽ  vdots 11   -> 16a+17b vdots 11 hoặc 17a+16b vdots 11   X&eacute;t : 16a+17b + 17a+16b   = 16 (a+b) + 17 (a+b)   =(a+b)33   =(a+3).11.3 vdots 11   -> 16a+17b+17a+16b  vdots 11   Do đ&oacute; : 16a + 17b vdots 11, 17a+16b vdots 11   M&agrave; (11;11)=1   -> (16a+17b)(17a+16b) vdots (11.11)   -> (16a+17b)(17a+16b) vdots 121   Ta c&oacute; điều phải chứng minh.