Toán Lớp 8: cho a, b, c là các số nguyện mà a + b + c chia hết cho 12. Chứng minh rằng p = (a+b) (b+c) (c+a) – 5abc chia hết cho 12
vote 5 sao + cam on + tlhn
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: cho a, b, c là các số nguyện mà a + b + c chia hết cho 12. Chứng minh rằng p = (a+b) (b+c) (c+a) – 5abc chia hết cho 12
vote 5 sao + cam on + tlhn
Comments ( 2 )
(a+b)(b+c)(a+c)-5abc
= (a+b) (ab + bc + ac+c^2)+abc – 6abc
= (a+b)(ac+bc+c^2) + (a+b)ab +abc – 6abc
= c (a+b)(a+b+c) + (a+b)ab + abc – 6abc
= c (a+b)(a+b+c) + ab (a+b+c)-6abc
= (a+b+c)(ac+bc +ab) – 6abc
a+b+c\vdots 12
Nên trong 3 số a,b,c tồn tại ít nhất 1 số \vdots 3, \vdots 4
-> abc \vdots 4
-> -6abc \vdots 24 mà 24\vdots 12
-> -6abc \vdots 12
Lại có : (a+b+c)(ac+bc+ab)\vdots 12
->p\vdots 12
Đặt P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc
=> P = (a^2 b + ab^2 + b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 + abc + abc) – 5abc
=> P = (a^2 b + ab^2 + b^2 c + bc^2 + a^2 c + ac^2 ) – 3abc
=> P = (a^2 b + ab^2 + abc ) + (b^2 + c + bc^2 + abc ) + (a^2 c + ac^2 + abc ) – 6abc
=> P = ab(a + b + c) + bc(a + b + c) + ac(a + b + c) – 6abc
=> P = (a + b + c)(ab + bc + ac) – 6abc
(a + b + c)(ab + bc + ac) \vdots 12 ( do a + b + c \vdots 12 )
Ta có :
a + b + c \vdots 12
Nên hiển nhiên trong 3 số đó sẽ có ít nhất 1 số chia hết cho 2
=> – 6abc \vdots 6 . 2 = 12
=> (a + b + c)(ab + bc + ac) – 6abc\vdots 12
Hay P \vdots 12 ( đpcm )