Toán Lớp 8: cho a ³+b ³+c ³=3abc . chứng minh rằng a+b+c=0 hoặc a=b=c hứa vote 5 sao ạ giúp em

Question

Toán Lớp 8:  cho a ³+b ³+c ³=3abc . chứng minh rằng a+b+c=0 hoặc a=b=c hứa vote 5 sao ạ giúp em

chauhoangmy98 · Answer

Ta có: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc <=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 <=> (a^3 + ab^2 + ac^2 - ab^2 - abc - a^2c) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - cb^2 - abc) + (a^2c + b^2c + c^3 - abc - bc^2 - ac^2) = 0 <=> a (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + b (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) + c (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = 0 <=> (a+b+c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac) = 0 <=> a + b + c = 0 hoặc a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0 +) a + b + c = 0 +) a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = 0 <=> 2 (a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc-ac) = 0 <=> 2a^2+ 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac = 0 <=> (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0 <=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 = 0 forall a;b;c ta có : (a-b)^2 ge 0 (b-c)^2 ge 0 (a-c)^2 ge 0 => (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 ge 0 Dấu = xảy ra <=> {((a-b)^2 = 0 ),((b-c)^2 = 0 ),((a-c)^2 = 0):} <=> {(a-b=0),(b-c=0),(a-c=0):} <=> {(a = b ),(b = c ),(a = c):} <=> a = b = c Vậy với a^3 + b^3 + c^3 = 3abc thì a+b+c=0 hoặc a=b=c.