Toán Lớp 8: Cho `a+b+c=0; x+y+z=0; a/x + b/y + c/z = 0` Chứng minh rằng: `ax^2 +by^2 + cz^2 =0`

Question

Toán Lớp 8:  Cho a+b+c=0; x+y+z=0; a/x + b/y + c/z = 0 Chứng minh rằng: ax^2 +by^2 + cz^2 =0

tonhitruc · Answer

Giải đáp:   Từ x+y+z=0 suy ra x 2 =(y+ z)  2 ,  y 2 =(x+ z ) 2 ,  z 2 =(x+ y ) 2 .   Do đ&oacute;:ax 2 +by 2 +cz 2 =a(y+z) 2 +b(x+z) 2 +c(x+y) 2 =a(y 2 +2yz+z 2 )+b(x 2 +2xz+z 2 )+c(x 2 +2yx+x 2 )                                  =x 2 (b+c)+y 2 (a+c)+z 2 (a+b)+2(ayz+bxz+cxy).    Do:a+b+c=0 n&ecirc;n      b+c=-a; a+c=-b; a+b=-c                                                                Do:            a      x       +       b      y       +       c      z       =    0         ax+by+cz=0     n&ecirc;n      ayz+bxz+cxy=0                                                                                Thay  (2) v&agrave; (3) v&agrave;o (1),ta c&oacute;:             ax 2 +by 2 +cz 2 =-ax 2 -by 2 -cz 2      N&ecirc;n: 2(ax 2 +by 2 +cz 2 )=0    => ax 2 +by 2 +cz 2 =0(đpcm)   Lời giải và giải thích chi tiết:

daolanhoa · Answer

$ $ a+b+c=0 <=> $ begin{cases} a+b=-c b+c=-a c+a=-b end{cases}$ x+y+z=0 <=> $ begin{cases} x=-(y+z) y=-(x+z) z=-(x+y) end{cases}$ <=> $ begin{cases} x^2=(y+z)^2 y^2=(x+z)^2 z^2=(x+y)^2 end{cases}$ a/x+b/y+c/z=0 <=> (ayz + bxz + cxy)/(xyz)=0 <=> ayz + bxz + cxy=0 ax^2+by^2+cz^2 =a(y+z)^2+b (x+z)^2 + c (x+y)^2 =a(y^2+2yz+z^2)+b(x^2+2xz+z^2) + c (x^2+2xy+y^2) =ay^2 +2ayz + az^2 + bx^2 +2bxz + bz^2 +cx^2+2cxy + cy^2 = (ay^2+cy^2) + (az^2 + bz^2) + (bx^2 + cx^2) + 2(ayz + bxz + cxy) = y^2(a+c)+z^2 (a+b)+x^2(b+c) = - by^2 - cz^2 - ax^2 = - (ax^2+by^2+cz^2) <=>ax^2+by^2+cz^2+ax^2 + by^2+cz^2=0 <=>2(ax^2+by^2+cz^2)=0 <=>ax^2+by^2+cz^2=0 Thật vậy ta có điều phải chứng minh.