Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho a,b,c >0 CMR a+b+c>=3^3 căn 2 abc giải hộ với vote 5saoo ^^

Home/ Toán Lớp 8: Cho a,b,c >0 CMR a+b+c>=3^3 căn 2 abc giải hộ với vote 5saoo ^^

Toán Lớp 8: Cho a,b,c >0 CMR a+b+c>=3^3 căn 2 abc giải hộ với vote 5saoo ^^

Tháng Mười Một 16, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Cho a,b,c >0 CMR a+b+c>=3^3 căn 2 abc
giải hộ với vote 5saoo ^^

Comments ( 2 )

  1. minhhaanh
    minhhaanh
    16 Tháng Mười Một, 2022 at 11:07 sáng
    Reply
    Biến đổi ta được :
    $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3\ge 3\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}$
    Đặt $x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b}, z=\sqrt[3]{c}$
    Do a,b,c>0 ->x,y,z>0
    ->x+y+z>0
    Khi đó biểu thức cần chứng minh sẽ trở thành :
    x^3+y^3+z^3 \ge 3xyz
    -> x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0
    ->(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz\ge 0
    ->(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\ge 0
    Do x+y+z>0
    ->x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge 0
    ->2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge 0
    ->(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)\ge 0
    ->(x-y)^2 + (y-z)^2 +(x-z)^2\ge 0 (Luôn đúng)
    ->x^3+y^3+z^3\ge 3xyz
    -> $(\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 + (\sqrt[3]{c})^3\ge 3\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b}.\sqrt[3]{c}$
    -> $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$
    Dấu “=” xảy ra khi : 
    x-y=0,y-z=0,x-z=0<=>x=y=z <=>a=b=c
     

  2. haianhtu97
    haianhtu97
    16 Tháng Mười Một, 2022 at 11:07 sáng
    Reply
    Sửa đề: $a + b +  c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}\quad (*)$ (bất đẳng thức $Cauchy$ cho 3 số dương)
    Đặt $\begin{cases}x=\sqrt[3]{a}\\y = \sqrt[3]{b}\\z = \sqrt[3]{c}\end{cases}\Rightarrow x,y,z >0$
    $(*) \Leftrightarrow x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3xyz$
    $\Leftrightarrow (x^3 + y^3) + z^3 – 3xyz \geqslant 0$
    $\Leftrightarrow (x+y)^3 – 3xy(x+y) -3xyz + z^3\geqslant 0$
    $\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2 – z(x+y) + z^2 -3xy] – 3xy(x+y+z) \geqslant 0$
    $\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx) \geqslant 0\quad (Do\ x+y+z>0)$
    $\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 – xy – yz – zx \geqslant 0$
    $\Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 – 2xy -2yz – 2zx \geqslant 0$
    $\Leftrightarrow (x^2 – 2xy + y^2) + (y^2 – 2yz + z^2) + (z^2 – 2zx + x^2) \geqslant 0$
    $\Leftrightarrow (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geqslant 0\quad$ (luôn đúng)
    Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z \Leftrightarrow a= b= c$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Phước Bình

About Phước Bình