Toán Lớp 7: Giúp mình với!!! Cho tam giác ABC, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Trên trung tuyến AM lấy điểm G sao cho AG = 2GM. Gọi O là tâm đường

Question

Toán Lớp 7:  Giúp mình với!!! Cho tam giác ABC, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Trên trung tuyến AM lấy điểm G sao cho AG = 2GM. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh H, O, G thẳng hàng

ankim · Answer

Lời giải:    Gọi $N$ l&agrave; trung điểm $AC$   Ta c&oacute;: $O$ l&agrave; t&acirc;m đường tr&ograve;n ngoại tiếp $ triangle ABC$   $ Rightarrow  begin{cases}OM perp BC  ON perp AC end{cases}$   $ Rightarrow  widehat{OMC} =  widehat{ONC} = 90^ circ$   $ Rightarrow  widehat{OMN} +  widehat{NMC} =  widehat{ONM} +  widehat{MNC} = 90^ circ qquad (1)$   X&eacute;t $ triangle ABC$ c&oacute;:   $ begin{cases}MB = MC =  dfrac12BC  NA = NC =  dfrac12AC end{cases}$   $ Rightarrow MN$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh   $ Rightarrow  begin{cases}MN//AB  MN =  dfrac12AB end{cases}$   $ Rightarrow  begin{cases} widehat{ABC} =  widehat{NMC}   widehat{BAC} =  widehat{MNC} end{cases}    $ (đồng vị)   Ta lại c&oacute;:   $ begin{cases} widehat{ABC} +  widehat{BAH} = 90^ circ quad (AH perp BC)   widehat{BAC} +  widehat{ABH} = 90^ circ quad (BH perp AC) end{cases}$   $ Rightarrow  begin{cases} widehat{NMC} +  widehat{BAH} = 90^ circ   widehat{MNC} +  widehat{ABH} = 90^ circ end{cases} qquad (2)$   Từ $(1)(2)  Rightarrow  begin{cases} widehat{OMN} =  widehat{BAH}   widehat{ONM} =  widehat{ABH} end{cases}$   X&eacute;t $ triangle OMN$ v&agrave; $ triangle HAB$ c&oacute;:   $  begin{cases} widehat{OMN} =  widehat{BAH}   widehat{ONM} =  widehat{ABH} end{cases} quad (cmt)$   Do đ&oacute;: $ triangle OMN  backsim  triangle HAB  (g.g)$   $ Rightarrow  dfrac{OM}{AH} =  dfrac{MN}{AB} =  dfrac12$   Ta lại c&oacute;: $ dfrac{GM}{AG} =  dfrac12 quad (gt)$   $ Rightarrow  dfrac{OM}{AH} =  dfrac{GM}{AG}$   Mặt kh&aacute;c:   $AH perp BC$ ($H$ l&agrave; trực t&acirc;m)   $OM perp BC$ ($OM$ l&agrave; trung trực $BC$)   $ Rightarrow AH//OM quad ( perp BC)$   $ Rightarrow  widehat{OMG} =  widehat{HAG}$ (so le trong)   X&eacute;t $ triangle OMG$ v&agrave; $ triangle HAG$ c&oacute;:   $ begin{cases} widehat{OMG} =  widehat{HAG} quad (cmt)   dfrac{OM}{AH} =  dfrac{GM}{AG} quad (cmt) end{cases}$   Do đ&oacute; $ triangle OMG backsim  triangle HAG  (c.g.c)$   $ Rightarrow  widehat{OGM} =  widehat{HMA}$   m&agrave; $A,G,M$ thẳng h&agrave;ng   n&ecirc;n $H,O,G$ thẳng h&agrave;ng